Конус Қиық конус

Ереже: Тік дөңгелек конуста ось, табан радиусы және жасаушы тікбұрышты үшбұрыш құрайды. Жасаушы — гипотенуза, сондықтан l=√(r²+h²). Осьтік қимада толық диаметр бар болғанымен, осы жарты үшбұрышта катет радиусқа тең. Жасаушы радиус пен биіктіктің екеуінен де ұзын.

Шешу жолы: l²=15²+20²=225+400=625. Оң түбір l=25 см. Бұл 3:4:5 тікбұрышты үшбұрышқа сәйкес. Биіктік 20 см — катет, сондықтан жасаушыға тең емес.

Жиі кездесетін қате: A) 35 см: радиус пен биіктікті жай қосқан.

B) 5 см: биіктік пен радиус айырмасын жасаушы деп алған.

D) 20 см: жасаушыны конус биіктігімен шатастырған.

E) 625 см: жасаушы квадратының түбірін алмаған.

Қайта орындауға ишара: Конус осьтік қимасының жартысын алып, радиус пен биіктікті катеттер деп қарастырыңыз.

Ереже: Тік дөңгелек конустың бүйір беті S_б=πrl. Жасаушы l бүйір беттің сектор жазбасының радиусы; табан радиусы r сектор доғасының ұзындығын анықтайды. Бұл формулаға 2 немесе 1/2 коэффициентін қосуға болмайды. Толық бет үшін ғана πr² табан ауданы бөлек қосылады.

Шешу жолы: S_б=π·5·7=35π см². Сондықтан k=35. Берілген 7 — жасаушы, биіктік емес; h-ті есептеудің қажеті жоқ. Сұралған бүйір бетке табан ауданы кірмейді.

Жиі кездесетін қате: A) 70: конустың бүйір бетіне цилиндрдің 2 коэффициентін енгізген.

B) 25: бүйір бет орнына табан ауданын есептеген.

C) 60: табанды қосып, толық бетті есептеген.

E) 35/2: жазық үшбұрыштағы 1/2 коэффициентін конус бүйір бетіне қолданған.

Қайта орындауға ишара: Бүйір бет формуласындағы r мен l-ді берілген шамалардан анықтаңыз.

Ереже: Конус толық беті бір дөңгелек табан мен бүйір беттен тұрады: S_тол=πr²+πrl=πr(r+l). Конус цилиндр сияқты екі табанды емес. Жасаушы берілгенде бүйір бетті бірден есептеуге болады; биіктікпен алмастыруға болмайды. kπ түріндегі жазуда π алдындағы коэффициент сұралады.

Шешу жолы: S_тол=π·5²+π·5·7=(25+35)π=60π см². Демек k=60. Табан 25π және бүйір бет 35π бір реттен қосылады. Екінші табан немесе қосымша 2 көбейткіші жоқ.

Жиі кездесетін қате: A) 35: тек бүйір бетті есептеген, табанды қоспаған.

B) 25: тек табан ауданын берген.

C) 85: цилиндр сияқты екі табан қосқан.

D) 95: бүйір бетке цилиндрдің 2 коэффициентін қолданған.

Қайта орындауға ишара: Табан ауданын және бүйір бетті бөлек есептеп қосыңыз.

Ереже: Тік дөңгелек конустың осьтік қимасы — табаны 2r және биіктігі h болатын теңбүйірлі үшбұрыш. Оның ауданы S=(2r)h/2=rh. Қима бүйір беттің жазбасы емес және дөңгелек емес, сондықтан π жоқ. Үшбұрыш ауданындағы жарты коэффициент диаметрдегі екімен қысқарады.

Шешу жолы: Қима табаны 10 см, биіктігі 6 см. S=10·6/2=30 см². Радиусты табан деп алу үшбұрыштың жартысына сәйкес қате аудан берер еді. Дұрыс өлшемдер диаметр мен осьтік биіктік болып табылады.

Жиі кездесетін қате: A) 60 см²: осьтік үшбұрыш ауданының 1/2 коэффициентін ұмытқан.

B) 15 см²: осьтік қиманың табанын диаметр орнына радиус деп алған.

D) 25π см²: табандағы дөңгелек ауданын осьтік үшбұрышпен шатастырған.

E) 22 см²: үшбұрыш ауданын табан мен биіктік қосындысынан шығарған.

Қайта орындауға ишара: Осьтік қиманың табаны радиус емес, диаметр екенін ескеріңіз.

Ереже: Тік дөңгелек қиық конустың бүйір беті S_б=π(R+r)l формуласымен есептеледі. Мұнда екі табан радиусы қосылады; олардың айырмасы немесе бір радиустың өзі жеткіліксіз. Жасаушы l бүйір бет бойымен өлшенеді. Бұл ауданға екі дөңгелек табанның аудандары кірмейді.

Шешу жолы: R=10, r=5, l=8. S_б=π(10+5)·8=120π см². Демек k=120. Екі радиустың қосындысы 15, айырмасы 5; соңғысын қолдану қиық конустың нақты бетін кемітеді.

Жиі кездесетін қате: B) 40: кіші радиусты ғана алып, толық конус формуласын қолданған.

C) 80: үлкен радиусты ғана есептеген.

D) 240: қиық конус формуласын цилиндр сияқты екі еселеген.

E) 60: трапецияның 1/2 коэффициентін бүйір бет формуласына артық енгізген.

Қайта орындауға ишара: Екі радиусты қосып, жасаушыға көбейтіңіз; сұралған π коэффициентін бөліп көрсетіңіз.