Цилиндр

Ереже: Тік дөңгелек цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы — тіктөртбұрыш. Оның бір қабырғасы табан шеңберінің ұзындығы 2πr, екіншісі биіктік h; сондықтан S_б=2πrh. S=kπ түрінде k сұралса, π көбейткіші алынып, сандық коэффициент беріледі. Табандар бүйір бетке кірмейді.

Шешу жолы: S_б=2·π·5·3=30π см², сондықтан k=30. Радиус 5, диаметр 10; жазбаның ені радиус емес, бүкіл шеңбер ұзындығы. Бұл бүйір бет болғандықтан 2π5² қосылмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 15: шеңбер ұзындығындағы 2 коэффициентін жоғалтқан.

B) 75: бүйір бетке көлем формуласын қолданған.

C) 55: бүйір бетке бір табан ауданын артық қосқан.

D) 10: биіктікті ескермей, тек табан шеңберінің ұзындығын алған.

Қайта орындауға ишара: Жазбаның енін 2πr және биіктігін h деп алып, π алдындағы санды табыңыз.

Ереже: Цилиндрдің толық беті екі бірдей дөңгелек табаннан және бүйір беттен тұрады: S_тол=2πr²+2πrh=2πr(r+h). Бірінші қосылғыш табандарды, екіншісі бүйір бетті қамтиды. Барлық ұзындық бірдей бірлікте болуы тиіс; kπ жазылуында k — ауданның сандық коэффициенті.

Шешу жолы: S_тол=2π·5²+2π·5·2=(50+20)π=70π см². Демек k=70. Екі табанның әрқайсысы 25π см², бүйір бет 20π см²; үш бөліктің бәрі бір рет есептелді.

Жиі кездесетін қате: B) 20: екі табансыз тек бүйір бет есептелген.

C) 45: бір табан ғана қосылған; жабық цилиндрде екі табан бар.

D) 50: екі табан ғана есептелген, бүйір бет түсірілген.

E) 120: екі табанның аудандарын тағы екі еселеген.

Қайта орындауға ишара: Толық бетті екі табан және бүйір бет ретінде үш бөлікке бөліңіз.

Ереже: Тік дөңгелек цилиндрдің осі арқылы өтетін қима — ені 2r, биіктігі h тіктөртбұрыш. Сондықтан осьтік қима ауданы S=2rh. Бұл дөңгелек табан емес, сондықтан π коэффициенті қолданылмайды. Радиус пен диаметрді ажырату қиманың өлшемін дұрыс анықтауға қажет.

Шешу жолы: Қиманың ені 2·5=10 см, биіктігі 5 см. S=10·5=50 см². Ені бүкіл диаметрге тең; тек радиусты қолдану тіктөртбұрыштың жартысын ғана есептер еді. Аудан ұзындықтардың көбейтіндісімен табылады.

Жиі кездесетін қате: A) 25 см²: осьтік қиманың енін диаметр орнына радиус деп алған.

B) 100 см²: диаметрді екі еселеп, енді 4r деп алған.

C) 25π см²: осьтік тіктөртбұрыш орнына цилиндрдің дөңгелек табанының ауданын алған.

E) 30 см²: осьтік қиманың периметрін ауданымен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Осьтік қиманы сызып, оның екі қабырғасын r және h арқылы белгілеңіз.

Ереже: Цилиндрдің бүйір беті S_б=2πrh. Биіктікті табу үшін h=S_б/(2πr) аламыз. Бөлімде толық табан шеңберінің ұзындығы бар; радиус квадраты көлем формуласында қолданылады. Берілген ауданда π болса, алым мен бөлімнің π көбейткіштері қысқарады.

Шешу жолы: h=40π/(2π·5)=40/10=4 см. Тексеру: 2π·5·4=40π см² — бастапқы аудан. Нәтиже ұзындықпен өлшенеді; табан аудандары бұл есепке қатыспайды.

Жиі кездесетін қате: A) 8 см: бүйір бет формуласында 2 коэффициентін түсірген.

B) 2 см: радиусты диаметрге ауыстырып, 2-ге тағы көбейткен.

D) 100 см: 2πr-ге бөлудің орнына π-ні ғана қысқартқан.

E) 4/5 см: бүйір бет орнына көлемнің πr²h формуласын қолданған.

Қайта орындауға ишара: Белгісіз биіктікті S_б=2πrh теңдігінен шығарып, π-ні қысқартыңыз.

Ереже: Шеңбер ұзындығы C=2πr формуласымен табылады. Радиус белгісіз болса, r=C/(2π). C/π диаметрге тең, радиусқа емес. Шеңбер ұзындығы мен дөңгелек ауданы бөлек шамалар: бұл жерде r² немесе квадрат түбір қолданылмайды.

Шешу жолы: r=10π/(2π)=5 см. Табанның диаметрі 10 см болады. Кері тексеру 2π·5=10π см — берілген ұзындықты қайта береді. Алым мен бөлімде бірдей π көбейткіші қысқарады.

Жиі кездесетін қате: A) 10 см: шеңбер ұзындығын π-ге бөліп, диаметрді радиус деп берген.

B) 5/2 см: формуладағы 2 коэффициентін екі рет қолданған.

C) 25 см: радиусты тапқан соң негізсіз квадраттаған.

D) 5π см: π көбейткішін қысқартпай радиуста қалдырған.

Қайта орындауға ишара: Шеңбер ұзындығы формуласынан r-ді шығарыңыз; радиус пен диаметрді ажыратыңыз.