Кеңістіктегі бұрыштарды анықтау

Ереже: Түзулердің кіші бұрышы бағыттаушы векторлары арқылы табылады: cosφ=|u·v|/(|u||v|). Модуль бағытты таңдауға тәуелділікті жояды. Нөлден өзгеше векторлардың скаляр көбейтіндісі нөл болса, түзулер бағыттары перпендикуляр және кіші бұрыш 90°. Координата осьтері осыған қарапайым мысал береді.

Шешу жолы: u·v=5·0+0·5+0=0. Екі ұзындық та 5>0, сондықтан cosφ=0/25=0. 0°≤φ≤90° аралығында бұл φ=90°. Векторлар Ox және Oy бағыттарымен сәйкес келеді, ал бұл екі ось өзара перпендикуляр.

Жиі кездесетін қате: B) 30 °: скаляр көбейтінді нөл, сондықтан косинус нөл; бұл бұрыштың косинусы нөл емес.

C) 0 °: скаляр көбейтінді нөл, сондықтан косинус нөл; бұл бұрыштың косинусы нөл емес.

D) 60 °: скаляр көбейтінді нөл, сондықтан косинус нөл; бұл бұрыштың косинусы нөл емес.

E) 45 °: скаляр көбейтінді нөл, сондықтан косинус нөл; бұл бұрыштың косинусы нөл емес.

Қайта орындауға ишара: Бағыттаушы векторлардың скаляр көбейтіндісінен бастаңыз.

Ереже: Түзу мен жазықтықтың бұрышы — түзудің бағыты мен оның жазықтықтағы ортогональ проекциясы арасындағы кіші бұрыш. Нормальмен бұрыш оған толықтауыш болғандықтан sinα=|v·n|/(|v||n|) қолданылады. z=0 жазықтығының нормалі n=(0;0;1). Бұрыш 0°-тан 90°-қа дейін алынады.

Шешу жолы: v=(0;0;5), n=(0;0;1). sinα=5/(5·1)=1, сондықтан α=90°. Түзудің бағыты жазықтық нормалімен бірдей: ол жазықтыққа перпендикуляр. Нормальмен нөлдік бұрышты жазықтықпен бұрыш деп алу қате.

Жиі кездесетін қате: A) 30 °: бағыт нормальмен коллинеар; түзу жазықтыққа тік, бұл бұрыш тік емес.

B) 45 °: бағыт нормальмен коллинеар; түзу жазықтыққа тік, бұл бұрыш тік емес.

D) 0 °: бағыт нормальмен коллинеар; түзу жазықтыққа тік, бұл бұрыш тік емес.

E) 60 °: бағыт нормальмен коллинеар; түзу жазықтыққа тік, бұл бұрыш тік емес.

Қайта орындауға ишара: Жазықтықтың нормалін тауып, түзу мен жазықтық бұрышы үшін синус формуласын қолданыңыз.

Ереже: Түзу мен жазықтықтың бұрышы — түзудің бағыты мен оның жазықтықтағы ортогональ проекциясы арасындағы кіші бұрыш. Нормальмен бұрыш оған толықтауыш болғандықтан sinα=|v·n|/(|v||n|) қолданылады. z=0 жазықтығының нормалі n=(0;0;1). Бұрыш 0°-тан 90°-қа дейін алынады.

Шешу жолы: v=(5;0;0), n=(0;0;1). v·n=0, |v|=5; сондықтан sinα=0 және α=0°. Бағыт жазықтыққа параллель. Бастапқы нүкте берілмесе де, бағыттың жазықтықпен бұрышы анықталады; түзу жазықтықта жатуы да мүмкін.

Жиі кездесетін қате: A) 60 °: бағыт нормальға ортогональ, сондықтан жазықтыққа параллель бағыттың бұрышы нөл.

C) 30 °: бағыт нормальға ортогональ, сондықтан жазықтыққа параллель бағыттың бұрышы нөл.

D) 45 °: бағыт нормальға ортогональ, сондықтан жазықтыққа параллель бағыттың бұрышы нөл.

E) 90 °: бағыт нормальға ортогональ, сондықтан жазықтыққа параллель бағыттың бұрышы нөл.

Қайта орындауға ишара: Жазықтықтың нормалін тауып, түзу мен жазықтық бұрышы үшін синус формуласын қолданыңыз.

Ереже: Екі жазықтықтың кіші бұрышы олардың нормаль векторларының кіші бұрышына тең. cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) формуласында модуль кіші бұрышты қамтамасыз етеді. Нормальдарды таңдау таңбасы жазықтықтарды өзгертпейді. Скаляр көбейтінді мен екі ұзындықтың бәрін дұрыс есептеу қажет.

Шешу жолы: n₁·n₂=25, |n₁|=5, |n₂|=5√2. cosφ=25/(5·5√2)=1/√2, сондықтан φ=45°. Бір нормаль Ox бойында, екіншісінің x және y компоненттері тең; кіші бұрыш 45° болуына бұл да сәйкес келеді.

Жиі кездесетін қате: A) 0 °: нормальдар қатынасы cosφ=1/√2 береді; 0° бұрышының косинусы бұл мәнге тең емес.

B) 90 °: нормальдар қатынасы cosφ=1/√2 береді; 90° бұрышының косинусы бұл мәнге тең емес.

C) 60 °: нормальдар қатынасы cosφ=1/√2 береді; 60° бұрышының косинусы бұл мәнге тең емес.

E) 30 °: нормальдар қатынасы cosφ=1/√2 береді; 30° бұрышының косинусы бұл мәнге тең емес.

Қайта орындауға ишара: Нормальдардың скаляр көбейтіндісін олардың ұзындықтары көбейтіндісіне бөліңіз.

Ереже: Түзу мен жазықтықтың бұрышы — түзудің бағыты мен оның жазықтықтағы ортогональ проекциясы арасындағы кіші бұрыш. Нормальмен бұрыш оған толықтауыш болғандықтан sinα=|v·n|/(|v||n|) қолданылады. z=0 жазықтығының нормалі n=(0;0;1). Бұрыш 0°-тан 90°-қа дейін алынады.

Шешу жолы: v=(5;0;5), |v|=5√2, v·n=5. Сондықтан sinα=5/(5√2)=1/√2 және α=45°. Горизонталь және тік бағыттағы үлестер бірдей, бұл да 45° нәтижесін растайды.

Жиі кездесетін қате: A) 60 °: түзудің жазықтықпен бұрышы үшін sinα=1/√2; 60° бұрышы бұл теңдікті орындамайды.

B) 30 °: түзудің жазықтықпен бұрышы үшін sinα=1/√2; 30° бұрышы бұл теңдікті орындамайды.

C) 90 °: түзудің жазықтықпен бұрышы үшін sinα=1/√2; 90° бұрышы бұл теңдікті орындамайды.

D) 0 °: түзудің жазықтықпен бұрышы үшін sinα=1/√2; 0° бұрышы бұл теңдікті орындамайды.

Қайта орындауға ишара: Жазықтықтың нормалін тауып, түзу мен жазықтық бұрышы үшін синус формуласын қолданыңыз.