Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуы

Ереже: Екі жазықтық нормальдары пропорционал болса, жазықтықтар параллель немесе беттескен болады. Беттесу үшін нормаль коэффициенттерімен бірге бос мүшелер де сол қатынаста болуы тиіс. Сол жақтары дәл бірдей, ал оң жақтары әртүрлі болса, ортақ нүкте жоқ; бұл екі бөлек параллель жазықтық.

Шешу жолы: n₁=n₂=(5;1;1), бірақ тұрақтылар 1 және 3. Бір ортақ нүкте болғанда сол бір 5x+y+z өрнегі әрі 1, әрі 3 болуы керек еді, бұл мүмкін емес. Сондықтан жазықтықтар беттеспейді және параллель.

Жиі кездесетін қате: A) Беттеседі: бірдей нормальдар жеткілікті деп алған; оң жақ тұрақтылары әртүрлі.

B) Перпендикуляр: тең нормальдарды ортогональ деп қабылдаған, бірақ олардың скаляр көбейтіндісі нөл емес.

C) Бір түзудің бойымен қиылысады: екі тең сол жақтың бір уақытта әртүрлі мәнге тең бола алмайтынын ескермеген.

E) Тек бір нүктеде қиылысады: екі жазықтықтың қиылысуы жеке нүкте болуы мүмкін деп қабылдаған; берілген жүйе үйлесімсіз.

Қайта орындауға ишара: Нормальдарды салыстырғаннан кейін бос мүшелерді де міндетті салыстырыңыз.

Ереже: Екі жазықтықтың перпендикуляр болуы олардың нормаль векторларының перпендикуляр болуына теңмәнді. Нөлден өзгеше екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөл болса, олардың бұрышы 90°. Бос мүшелер жазықтықтардың орнын өзгертеді, бірақ нормальдардан анықталатын өзара бұрышты өзгертпейді.

Шешу жолы: n₁=(1;5;0), n₂=(5;−1;0). Олардың скаляр көбейтіндісі 1·5+5·(−1)+0=0. Нормальдар нөлдік емес, сондықтан бұрыш 90°; жазықтықтар перпендикуляр. Олар пропорционал емес болғандықтан беттеспейді.

Жиі кездесетін қате: B) Беттеседі: нормальдардың пропорционал емес екенін ескермеген.

C) Параллель, беттеспейді: скаляр көбейтіндінің нөл болуын параллельдікпен шатастырған.

D) Кіші бұрышы 45°: нормальдардың скаляр көбейтіндісі нөл екенін есептемеген.

E) Кіші бұрышы 60°: координата коэффициенттерінен бұрышты жорамалдаған; ортогональдықты тексермеген.

Қайта орындауға ишара: Екі нормальдың сәйкес координаталар көбейтінділерін қосып көріңіз.

Ереже: Түзудің бағыты жазықтыққа параллель болса, түзу сол жазықтықта жатады немесе оған параллель бөлек орналасады. Екеуін ажырату үшін түзудің бір нүктесінің жазықтықта жатуын тексереміз. z=0 жазықтығының нормалі (0;0;1); v·n=0 бағыттың параллельдігін білдіреді.

Шешу жолы: Түзудегі нүктелер (t;0;5) түрінде болады. Бағыттаушы (1;0;0) үшін v·n=0, ал барлық нүктеде z=5≠0. Демек түзу z=0 жазықтығында жатпайды, оған параллель және ортақ нүктесі жоқ.

Жиі кездесетін қате: A) Жазықтықта жатады: бағыттың параллельдігінен бүкіл түзудің жазықтықта жатуын негізсіз шығарған.

C) Жазықтыққа перпендикуляр: Ox бағытын Oz нормаль бағытымен шатастырған.

D) Жазықтықты бір нүктеде қияды: түзу бойында z координатасы өзгермейтінін ескермеген.

E) Жазықтықпен 45° бұрыш жасайды: z координатасы тұрақты болса да бағыт көлбеу деп қабылдаған; оның жазықтықпен бұрышы 0°.

Қайта орындауға ишара: Бағытты ғана емес, бастапқы нүктенің z координатасын да тексеріңіз.

Ереже: Түзу жазықтыққа перпендикуляр болуы үшін оның бағыттаушы векторы жазықтықтың нормалімен коллинеар болуы керек. Бастапқы нүкте түзу өтетін орынды анықтайды, бірақ берілген бағыттың жазықтықпен бұрышын өзгертпейді. Нормаль жазықтыққа тік бағытталған; онымен бағыттас түзу де жазықтыққа тік.

Шешу жолы: Жазықтық нормалі n=(5;2;−1), ал түзудің бағыты v=(5;2;−1). Демек v=n, векторлар коллинеар әрі нөлдік емес. Осыдан түзу жазықтыққа перпендикуляр, яғни олардың бұрышы 90°.

Жиі кездесетін қате: A) Жазықтыққа параллель: нормальмен бағыттас болуды жазықтыққа параллельдік деп қабылдаған.

B) Жазықтықпен 45° бұрыш жасайды: бағыт пен нормальдың дәл теңдігін ескермеген.

D) Жазықтықпен 60° бұрыш жасайды: скаляр көбейтіндіге емес, коэффициенттерге қарап бұрышты болжаған.

E) Бағытын анықтау мүмкін емес: нормаль мен бағыттаушы жеткілікті бола тұра бастапқы нүктені қажет деп санаған.

Қайта орындауға ишара: Жазықтық коэффициенттерінен нормальды құрып, оны түзудің бағытымен салыстырыңыз.

Ереже: Векторлар бір-бірінің сандық еселігі болса, олар коллинеар. Еселік оң болғанда бағыттары бірдей, теріс болғанда қарама-қарсы. Түзулердің бағыттарын ғана білу олардың дәл беттесетінін анықтамайды; бастапқы нүктелер де қажет. Бұл сұрақ нақты түзулердің орналасуын емес, бағыттардың байланысын сұрайды.

Шешу жолы: v₂=(2;10;0)=2·(1;5;0)=2v₁. 2 оң болғандықтан бағыттар бірдей және параллель. Скаляр көбейтінді v₁·v₂=2+50>0, сондықтан перпендикуляр емес. Түзулердің беттесуі туралы дерек жеткіліксіз, бірақ бағыттары анық.

Жиі кездесетін қате: A) Қарама-қарсы бағытталған: пропорционалдық коэффициентінің оң екенін ескермеген.

C) Перпендикуляр бағытталған: пропорционалдықты ортогональдықпен шатастырған.

D) Кіші бұрышы 45°: екінші вектор біріншінің дәл екі есесі екенін байқамаған.

E) Пропорционал емес: барлық сәйкес координаталардың бір қатынаспен өзгергенін тексермеген.

Қайта орындауға ишара: Екінші векторды бірінші вектордың бір санға көбейтіндісі түрінде жазыңыз.