Геометриялық денелер комбинацияларының көлемдері

Ереже: Іштері қиылыспайтын екі дененің біріктірілген көлемі олардың көлемдерінің қосындысына тең. Ортақ шекара бетінің көлемі нөл, сондықтан ол екі рет есептелсе де көлемнен шегерілмейді. Цилиндр үшін πr²h, жарты шар үшін 2πr³/3 қолданылады. Қосылатын бөліктерді нақты пішініне сәйкес есептеу керек.

Шешу жолы: Цилиндр V₁=π·5²·3=75π. Жарты шар V₂=2π·5³/3=250/3π. Жалпы V=(75+250/3)π=475/3π см³, сондықтан k=475/3. Іштері қиылыспайды деген шарт көлемдерді тікелей қосуға мүмкіндік береді.

Жиі кездесетін қате: A) 725/3: жарты шар орнына толық шар көлемін қосқан.

B) 75: үстіндегі жарты шардың көлемін ескермеген.

C) 250/3: цилиндр бөлігінің көлемін түсірген.

D) -25/3: біріктіру орнына жарты шарды цилиндрден шегерген.

Қайта орындауға ишара: Екі бөліктің көлемін жеке есептеңіз; үстіне қосылған бөлікті шегермеңіз.

Ереже: Денеден ойық алынғанда қалған көлем бастапқы көлемнен алынған бөліктің көлемін шегеру арқылы табылады. Бірдей биіктіктегі осьтес цилиндрлер үшін V_қал=πh(R²−r²). (R−r)² өрнегі R²−r²-ке тең емес; табан сақинасының ауданын дұрыс есептеу қажет.

Шешу жолы: Сыртқы көлем 3π·10²=300π, ойық көлемі 3π·5²=75π. Қалғаны V=(300−75)π=225π см³. Сондықтан k=225. Радиус 5 сыртқы 10-дан кіші болғандықтан ойық сыртқы денеде орналасады.

Жиі кездесетін қате: A) 375: ойылған цилиндрді шегеру орнына қосқан.

B) 300: сыртқы цилиндр көлемін қалдырып, ойықты ескермеген.

C) 75: қалған қабық емес, ойылған ішкі цилиндр көлемін берген.

E) 15: радиустар квадраттарының айырмасы орнына радиустар айырмасын қолданған.

Қайта орындауға ишара: Екі цилиндрдің көлемін бөлек есептеп, кішісін үлкенінен шегеріңіз.

Ереже: Тікбұрышты параллелепипед пішініндегі ойық көлемі оның табан ауданы мен биіктігі көбейтіндісіне тең. Қалған көлем куб көлемінен осы ойық көлемін шегеру арқылы табылады. Ойық түгел ішінде орналасуы шегерудің дұрыс болуын қамтамасыз етеді; ауданды көлемнен тікелей шегеруге болмайды.

Шешу жолы: Куб көлемі (10)³=1000 см³. Ойық көлемі 25·5=125 см³. Қалған V=1000−125=875 см³. Нәтиже бастапқы көлемнен кіші және оң, бұл алынған бөліктің куб ішінде орналасуымен сәйкес.

Жиі кездесетін қате: A) 1000 см³: куб көлемін ғана берген; алынған ойықты шегермеген.

B) 125 см³: қалған бөлік орнына ойық көлемін есептеген.

D) 1125 см³: ойықты алып тастаудың орнына қосқан.

E) 975 см³: ойықтың табан ауданын көлемдей шегерген, биіктігін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Алдымен ойықтың көлемін табан ауданы мен биіктігінен табыңыз.

Ереже: Табандары сәйкес, іштері қиылыспайтын призма мен пирамида біріктірілсе, олардың көлемдері қосылады. Бір табан ауданы S және бірдей h биіктік үшін V_призма=Sh, V_пирамида=Sh/3. Бекітілген ортақ табан жазық бет болғандықтан оның көлемі нөл; қосындыдан қосымша бөлік алынбайды.

Шешу жолы: S=25, h=3. Призма көлемі 25·3=75 см³, пирамида көлемі 25·3/3=25 см³. Жалпы V=75+25=100 см³. Қосылған пирамида призма көлемінің үштен бірін береді.

Жиі кездесетін қате: B) 150 см³: пирамиданы да призма сияқты есептеген.

C) 50 см³: біріктірілген денелер көлемін азайтқан.

D) 75 см³: тек призма бөлігінің көлемін алған.

E) 25 см³: тек пирамида бөлігінің көлемін берген.

Қайта орындауға ишара: Призма мен пирамида көлемдерінің формулалары әртүрлі екенін ескеріп, соңында қосыңыз.

Ереже: Табаны цилиндр табанымен беттесіп, төбесі қарсы табан центрінде жататын конустың радиусы мен биіктігі цилиндрдікіне тең. Осы жағдайда конус көлемі цилиндр көлемінің үштен бірі. Цилиндрдің конустан тыс бөлігі — екі көлемнің айырмасы, яғни цилиндр көлемінің үштен екісі.

Шешу жолы: Цилиндр V₁=π·5²·3=75π. Конус V₂=π·5²·3/3=25π. Қалған V=(75−25)π=50π см³, сондықтан k=50. Табандардың беттесуі екі дененің радиустары тең екенін нақтылайды.

Жиі кездесетін қате: A) 25: қалған көлемнің орнына конустың өз көлемін берген.

B) 75: конусты шегермей толық цилиндр көлемін алған.

C) 100: конус көлемін цилиндрге қосқан.

E) 50/3: қалған көлемге 1/3 коэффициентін тағы қолданған.

Қайта орындауға ишара: Табандар беттесетіндіктен радиус пен биіктіктерді бірдей алып, конус көлемін цилиндрден шегеріңіз.