Айналу денелерінің көлемі

Ереже: Цилиндрдің көлемі V=πr²h, конустың көлемі V=πr²h/3. Радиус квадраты табан дөңгелегінің ауданынан шығады. h — перпендикуляр биіктік; жасаушының ұзындығы емес. V=kπ деп жазылса, жауапта π қалдырмай, оның алдындағы сандық коэффициент k беріледі.

Шешу жолы: r=5, h=3. V=π·5²·3=75π см³. Демек k=75. Конуспен шатастырсақ көлем үш есе азаяр еді; цилиндрде барлық параллель қима табанға тең.

Жиі кездесетін қате: A) 25: конустың 1/3 коэффициентін цилиндрге қолданған.

B) 300: радиус орнына диаметрді қолданған; табан ауданы төрт есе артқан.

D) 15: радиусты квадраттамаған.

E) 225: биіктікті артық квадраттаған.

Қайта орындауға ишара: Табан ауданы πr²-ті биіктікке көбейтіңіз; конус болса үшке бөлуді ұмытпаңыз.

Ереже: Цилиндрдің көлемі V=πr²h, конустың көлемі V=πr²h/3. Радиус квадраты табан дөңгелегінің ауданынан шығады. h — перпендикуляр биіктік; жасаушының ұзындығы емес. V=kπ деп жазылса, жауапта π қалдырмай, оның алдындағы сандық коэффициент k беріледі.

Шешу жолы: r=5, h=3. V=π·5²·3/3=25π см³. Демек k=25. Биіктік 3 формула бөліміндегі 3-пен қысқарады, бірақ бұл жалпы конус формуласын өзгертпейді.

Жиі кездесетін қате: A) 75: конусты цилиндр сияқты есептеп, 1/3 коэффициентін жоғалтқан.

B) 5: радиусты квадраттамаған.

C) 25/3: 3-ке бөлуді екі рет орындаған.

E) 225: формуладағы 3-ке бөлудің орнына көбейткен.

Қайта орындауға ишара: Табан ауданы πr²-ті биіктікке көбейтіңіз; конус болса үшке бөлуді ұмытпаңыз.

Ереже: Шар көлемі V=4πr³/3. Жарты шар толық шардың екіге тең бөлінген бөлігі болғандықтан оның көлемі V=2πr³/3. Радиус үшінші дәрежеге көтеріледі: бұл көлемнің үш өлшемді шама екенін білдіреді. Сфера бетінің r² формуласын көлемге қолдануға болмайды.

Шешу жолы: r³=5³=125. Толық шар үшін V=4/3·125π=500/3π см³, сондықтан k=500/3. π сандық коэффициенттен бөлініп көрсетілді; бөлшек дәл түрде сақталады, жуық ондыққа ауыстыру қажет емес.

Жиі кездесетін қате: B) 125/3: көлем коэффициентіндегі 4 көбейткішін жоғалтқан.

C) 100: сфера бетін шар көлемімен шатастырған.

D) 4000/3: диаметрді радиус орнына алып, көлемді сегіз есе үлкейткен.

E) 500: шар көлемінің формуласында 3-ке бөлуді ұмытқан.

Қайта орындауға ишара: Алдымен r³-ті есептеп, толық немесе жарты шардың сәйкес коэффициентін қолданыңыз.

Ереже: Қиық конустың көлемі V=πh(R²+Rr+r²)/3. Үш қосылғыш та қажет: үлкен радиус квадраты, екі радиус көбейтіндісі және кіші радиус квадраты. Жасаушы емес, табандар арасындағы перпендикуляр биіктік қолданылады. Бірдей биіктіктегі екі конусты азайту бұл денені дұрыс бермейді.

Шешу жолы: R=10, r=5, h=3. R²+Rr+r²=100+50+25=175. V=π·3·175/3=175π см³; k=175. Биіктік пен 3 бөлімі қысқарғанымен барлық үш аудандық мүше есепке алынды.

Жиі кездесетін қате: A) 125: Rr аралық мүшесін түсіріп, екі радиус квадратымен ғана есептеген.

B) 100: үлкен радиусы бар толық конустың көлемін ғана алған.

C) 75: екі толық конустың бірдей биіктікпен айырмасын алған; олардың биіктіктері бірдей емес.

E) 525: көлем формуласының 3 бөлімін жоғалтқан.

Қайта орындауға ишара: R², Rr және r² мүшелерін бөлек есептеп қосыңыз.

Ереже: Шар көлемі V=4πr³/3. Жарты шар толық шардың екіге тең бөлінген бөлігі болғандықтан оның көлемі V=2πr³/3. Радиус үшінші дәрежеге көтеріледі: бұл көлемнің үш өлшемді шама екенін білдіреді. Сфера бетінің r² формуласын көлемге қолдануға болмайды.

Шешу жолы: r³=5³=125. Жарты шар үшін V=2/3·125π=250/3π см³, сондықтан k=250/3. π сандық коэффициенттен бөлініп көрсетілді; бөлшек дәл түрде сақталады, жуық ондыққа ауыстыру қажет емес.

Жиі кездесетін қате: A) 500/3: толық шар көлемін алған, екіге бөлмеген.

C) 125/3: жарты шарды тағы екіге бөліп, ширек шарды есептеген.

D) 125: жарты шар көлеміндегі 2/3 коэффициентін түгел түсірген.

E) 2000/3: диаметрді радиус орнына қолданған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен r³-ті есептеп, толық немесе жарты шардың сәйкес коэффициентін қолданыңыз.