Кеңістіктегі қашықтықтарды анықтау

Ереже: Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық — сол нүктеден түсірілген перпендикулярдың ұзындығы. z=0 координаталық жазықтығы үшін бұл қашықтық |z_A|-ға тең. x және y координаталары перпендикуляр табанының жазықтықтағы орнын анықтайды; олар бұл қашықтыққа қосылмайды.

Шешу жолы: A=(0;0;5), оның перпендикуляр табаны O=(0;0;0). AO=|5−0|=5 бірлік. Жалпы формула да |z_A|/1=5 береді. Қашықтық теріс болмайды және нүктенің z координатасы нөл емес болғандықтан нөлге тең емес.

Жиі кездесетін қате: A) 25 бірлік: координатаны квадраттап, түбір алмаған.

B) 0 бірлік: x пен y нөл болғандықтан нүкте z=0-де жатыр деп ойлаған.

D) 10 бірлік: бір жақтағы қашықтықты екі жақ арасындағы аралық сияқты екі еселеген.

E) 5/2 бірлік: негізсіз орта нүкте формуласын қолданған.

Қайта орындауға ишара: z=0-ге перпендикуляр бағытты және нүктенің сол бағыттағы координатасын анықтаңыз.

Ереже: Ax+By+Cz−D=0 жазықтығына нүктеден қашықтық |Ax₀+By₀+Cz₀−D|/√(A²+B²+C²) формуласымен табылады. Бөлім — нормаль ұзындығы, оның квадраты немесе координаталар қосындысы емес. Алымдағы модуль қашықтықтың оң болуын қамтамасыз етеді; нүкте басында болса координаталық мүшелер нөл болады.

Шешу жолы: d=|0+0+0−15|/√(1²+2²+2²)=15/3=5 бірлік. Нормаль ұзындығы √9=3. Бос мүше 15 теңдеудің масштабына тәуелді, сондықтан оны жеке қашықтық деп қабылдау дұрыс емес.

Жиі кездесетін қате: A) 15 бірлік: теңдеудің бос мүшесін нормаль ұзындығына бөлмеген.

B) 5/3 бірлік: нормаль ұзындығы 3 орнына оның квадраты 9-ға бөлген.

D) 45 бірлік: нормаль ұзындығына бөлудің орнына көбейткен.

E) 3 бірлік: нормаль координаталарын квадраттамай жай қосқан.

Қайта орындауға ишара: Алымға нүктенің координаталарын қойып, бөлімде нормальдың ұзындығын есептеңіз.

Ереже: Нүктеден Oz осіне дейінгі перпендикуляр осьтегі (0;0;z_A) нүктесіне түседі. Сондықтан қашықтық √(x_A²+y_A²), ал z координатасы өзгермейді және айырмаға кірмейді. Оське дейінгі қашықтықты координаталық жазықтыққа дейінгі қашықтықпен шатастыруға болмайды.

Шешу жолы: Ең жақын ось нүктесі O=(0;0;0). d=√(15²+20²)=√(225+400)=25 бірлік. A-ның z координатасы нөл болғанымен, x пен y нөл емес, сондықтан A осьте жатпайды және қашықтық оң.

Жиі кездесетін қате: A) 15 бірлік: тек x бағыты бойынша ауытқуды алған, y-ті ескермеген.

C) 20 бірлік: тек y бағыты бойынша қашықтықты алған.

D) 35 бірлік: екі перпендикуляр координатаны жай қосқан.

E) 0 бірлік: z=0 координатасын оське дейінгі қашықтық деп алған.

Қайта орындауға ишара: Oz осінде x пен y нөл болатынын пайдаланып, екі координата бойынша қашықтық табыңыз.

Ереже: z=c₁ және z=c₂ жазықтықтары бірдей Oz бағытына перпендикуляр. Олардың арақашықтығы |c₂−c₁|: екі жазықтықты ең қысқа кесінді нормаль бойымен қосады. Бұл екі қашықтықтың қосындысы емес, координаталардың айырмасы; таңба модуль арқылы алынып тасталады.

Шешу жолы: d=|9−5|=4 бірлік. Бірдей x,y бар екі нүктені таңдасақ, олардың z айырмасы 4 және қосатын кесінді екі жазықтыққа да перпендикуляр. Бастапқы 5 мәні өзгергенмен аралық 4 болып қалады.

Жиі кездесетін қате: A) 14 бірлік: екі параллель жазықтықтың координаталарын қосқан.

C) 5 бірлік: бірінші жазықтықтан z=0-ге қашықтықты берген.

D) 9 бірлік: екінші жазықтықтан z=0-ге қашықтықты берген.

E) −4 бірлік: координата айырмасының модулін алмаған; қашықтық теріс болмайды.

Қайта орындауға ишара: Бірдей нормаль бағыты бойынша жазықтықтардың координаталарының модульді айырмасын алыңыз.

Ереже: Екі нүкте арақашықтығы сәйкес координаталар айырмалары квадраттарының қосындысынан алынған түбірге тең. Айырманы қай бағытпен алғанымыз квадраттан кейін әсер етпейді. Координаталарды жай қосу немесе бір координатаға ғана қарау кеңістіктегі толық қашықтықты бермейді.

Шешу жолы: Δx=8−5=3, Δy=4−0=4, Δz=0. Сондықтан AB=√(3²+4²+0²)=√25=5 бірлік. Нүктелер z=0-де жатқандықтан бұл есеп тікбұрышты үшбұрыштың 3 және 4 катеттеріне келтіріледі.

Жиі кездесетін қате: A) 7 бірлік: координата айырмаларын жай қосқан.

B) 3 бірлік: тек x координатасының айырмасын алған.

C) 4 бірлік: тек y координатасының айырмасын алған.

E) 25 бірлік: қашықтық квадратын есептеп, түбір алмаған.

Қайта орындауға ишара: Координаталардың өздерін емес, екі нүкте арасындағы айырмаларын пайдаланыңыз.