Сфера және шар

Ереже: Сфера бетінің ауданы S=4πr², мұндағы r — радиус. Диаметр берілсе алдымен r=d/2 аламыз. Сфера беті жазық дөңгелектің ауданынан төрт есе үлкен; жарты сфераның тек қисық беті екі есе кіші. Аудан формуласында радиус міндетті квадратталады.

Шешу жолы: Берілген радиус r=5 см. S=4π·5²=100π см², демек k=100. Радиустың орнына диаметрді қолдану ауданның төрт есе артық шығуына әкеледі.

Жиі кездесетін қате: A) 25: үлкен дөңгелектің ауданын сфера бетімен шатастырған.

B) 50: сфераның орнына жарты сфераның қисық бетін есептеген.

C) 400: диаметрді радиус орнына қолданған.

E) 20: радиусты квадраттамаған.

Қайта орындауға ишара: Радиус пен диаметрді ажыратып, 4πr² формуласын қолданыңыз.

Ереже: Сфера бетінің ауданы S=4πr², мұндағы r — радиус. Диаметр берілсе алдымен r=d/2 аламыз. Сфера беті жазық дөңгелектің ауданынан төрт есе үлкен; жарты сфераның тек қисық беті екі есе кіші. Аудан формуласында радиус міндетті квадратталады.

Шешу жолы: Диаметр 10 см, сондықтан r=10/2=5 см. S=4π·5²=100π см², демек k=100. Радиустың орнына диаметрді қолдану ауданның төрт есе артық шығуына әкеледі.

Жиі кездесетін қате: A) 25: үлкен дөңгелектің ауданын сфера бетімен шатастырған.

B) 50: сфераның орнына жарты сфераның қисық бетін есептеген.

D) 400: диаметрді радиус орнына қолданған.

E) 20: радиусты квадраттамаған.

Қайта орындауға ишара: Радиус пен диаметрді ажыратып, 4πr² формуласын қолданыңыз.

Ереже: Шар центрінен қима жазықтығына түсірілген перпендикуляр қима шеңберінің центріне келеді. Шар радиусы R, центрден жазықтыққа қашықтық d және қима радиусы ρ тікбұрышты үшбұрыш құрайды: ρ²=R²−d². Үлкен дөңгелекте ғана d=0 және ρ=R болады.

Шешу жолы: ρ²=25²−15²=625−225=400. Сондықтан ρ=20 см. Қима центр арқылы өтпегендіктен 20<25; алынған радиус шар радиусынан кіші. Шар радиусы бұл үшбұрыштың гипотенузасы.

Жиі кездесетін қате: A) 10 см: шар радиусынан жазықтық қашықтығын жай азайтқан.

C) 40 см: қима радиусының орнына оның диаметрін берген.

D) 25 см: қима радиусын шар радиусына тең деп алған; қима центр арқылы өтпейді.

E) 850 см: қима радиусы үшін квадраттарды қосуды қолданған әрі соңынан түбір алмаған.

Қайта орындауға ишара: R-ді гипотенуза деп алып, қима радиусының квадратын айырма арқылы табыңыз.

Ереже: Шардың үлкен дөңгелегі центр арқылы өтетін қимадан алынады, оның радиусы шар радиусына тең. Дөңгелек ауданы S=πr². Бұл шар көлемі немесе сфера беті емес: сфера бетінің 4πr² формуласы жазық қимаға қолданылмайды. kπ түрінде k=r² болады.

Шешу жолы: Үлкен дөңгелек радиусы 5 см. S=π·5²=25π см², сондықтан k=25. Жазықтық центр арқылы өткендіктен кішірейтетін қосымша қашықтық жоқ; қима радиусын қайта есептеу қажет емес.

Жиі кездесетін қате: A) 100: үлкен дөңгелек орнына сфераның бүкіл бет ауданын берген.

B) 50: дөңгелек ауданын негізсіз екі еселеген.

D) 20: сфера ауданындағы сызықтық коэффициентті қолданған.

E) 5: дөңгелек ауданында радиусты квадраттамаған.

Қайта орындауға ишара: Сұралғаны сфераның беті ме, әлде оның центрлік жазық қимасы ма, соны ажыратыңыз.

Ереже: Сфера ауданы S=4πr². Радиусты табу үшін r²=S/(4π), одан кейін r=√(S/(4π)) аламыз. Оң түбір таңдалады, себебі радиус ұзындық. Диаметрді табу сұралса ғана радиусты екі еселеуге болады; бұл сұрақта радиустың өзі керек.

Шешу жолы: r²=100π/(4π)=25, сондықтан r=5 см. Кері тексеру: 4π·5²=100π см². 25 саны радиус квадраты, сондықтан соңынан түбір алу міндетті.

Жиі кездесетін қате: A) 10 см: радиустың орнына диаметрді берген.

B) 25 см: S/(4π)=r² аралық мәнінен түбір алмаған.

C) 5/2 см: сфера формуласына артық 4 коэффициентін енгізген.

E) 20 см: аудан коэффициентін түбірге дейін дұрыс бөлмеген.

Қайта орындауға ишара: Ауданды 4π-ге бөліп, шыққан мәннен оң квадрат түбір алыңыз.