Түзу мен жазықтық теңдеулері

Ереже: Нүкте жазықтықта жатса, оның координаталары жазықтық теңдеуін қанағаттандырады. Белгісіз координатаны табу үшін қалған берілген координаталарды дәл таңбаларымен қойып, сызықтық теңдеуді шешеміз. Координата коэффициенті мен координата мәнін шатастыруға болмайды; шешімді бастапқы теңдікпен тексеру қажет.

Шешу жолы: x+2·1−2=5, сондықтан қосымша мүшелер 2−2=0 болып қысқарады, x=5. Тексеру: 5+2−2=5. y мен z екеуі де ескерілген; олардың әсері бұл нақты шартта өзара жойылады.

Жиі кездесетін қате: B) 1: z алдындағы теріс таңбаны оң деп қабылдап, артық 4 шегерген.

C) 9: 2y және −z мүшелерін теңдіктің басқа жағына қате таңбалармен өткізген.

D) 3: z координатасын қоймай, тек 2y мүшесін ескерген.

E) 7: 2y мүшесін түсіріп, тек −z мүшесін қалдырған.

Қайта орындауға ишара: Берілген y және z мәндерін қойып, таңбалы мүшелерді біріктіріңіз.

Ереже: Жазықтықтың x+y+z=d теңдеуінде d нүктелер координаталарының қосындысымен анықталады. Егер берілген нүкте сол жазықтықта жатса, оның барлық үш координатасын орнына қоямыз. d — вектор ұзындығы емес; квадраттар қосындысы немесе түбір бұл теңдеуде қолданылмайды.

Шешу жолы: d=5+1+2=8. Берілген нүктені x+y+z−d=0 түріне қойсақ, 5+1+2−8=0 шығады. Сондықтан осы d үшін нүкте жазықтықта жатады; барлық координаталар коэффициенттері 1-ге тең.

Жиі кездесетін қате: A) 5: y және z координаталарын ескермеген.

B) 6: z координатасын қосындыға қоспаған.

D) 7: y координатасын түсірген.

E) 2: оң y және z мәндерін қосу орнына азайтқан.

Қайта орындауға ишара: Нүктенің үш координатасын жазықтық теңдеуінің сол жағына қойыңыз.

Ереже: Түзудің параметрлік теңдеулерінде әр координата бір параметр t арқылы беріледі. Белгілі t үшін сұралған координатаның өз теңдеуіне сол мәнді қоямыз. Тұрақты мүше түзудегі бастапқы нүктені, t коэффициенті бағытты анықтайды. Бір координатаның формуласын екіншісімен алмастыруға болмайды.

Шешу жолы: x=5+2·2=9. Бұл кезде y=1−2=−1, z=3·2=6, бірақ сұрақ x координатасы туралы. Тұрақты 5 өзгермейді; 2·2 көбейтіндісі ғана оған қосылады.

Жиі кездесетін қате: A) 7: t-нің мәнін коэффициентке көбейтпей, тек тұрақтыға қосқан.

C) 14: тек параметрлік мүшенің орнына бүкіл қосындыны екі еселеген.

D) 1: параметрлік мүшенің оң таңбасын теріске ауыстырған.

E) -1: x орнына y=1−t координатасын есептеген.

Қайта орындауға ишара: x теңдеуін бөліп алып, t=2 мәнін параметрдің орнына қойыңыз.

Ереже: Вектор ұзындығының квадраты оның координаталары квадраттарының қосындысына тең: |v|²=v_x²+v_y²+v_z². Теріс координатаның квадраты оң сан. Ұзындық сұралса соңынан квадрат түбір алынады, ал ұзындықтың квадраты сұралғанда түбір алынбайды. Параметрлік түзуде бағыттаушы вектор t коэффициенттерінен құралады.

Шешу жолы: Бағыттаушы v=(2;−1;3). Сондықтан |v|²=2²+(−1)²+3²=4+1+9=14. Барлық үш бағыт үлесі есептеледі. |v|=√14 болғанымен, тапсырма |v|² мәнін сұрайды; 14 дұрыс соңғы нәтиже.

Жиі кездесетін қате: A) 4: вектор координаталарын квадраттамай жай қосқан.

C) 12: (−1)² орнына −1 жазып, таңбаны қате сақтаған.

D) 5: z координатасының квадратын түсірген.

E) √14: вектор ұзындығын берген; ұзындықтың квадраты сұралған.

Қайта орындауға ишара: Барлық координаталарды квадраттаңыз; сұрақта ұзындық па, әлде оның квадраты ма, соны тексеріңіз.

Ереже: Ax+By+Cz=D жазықтығының нормаль векторы n=(A;B;C). D тұрақтысы оның координатасы емес. Нормаль ұзындығының квадраты A²+B²+C² арқылы табылады; коэффициенттің теріс таңбасы квадраттаған кезде жойылады. Ұзындық квадраты сұралғандықтан соңынан түбір алудың қажеті жоқ.

Шешу жолы: n=(5;2;−3). |n|²=5²+2²+(−3)²=25+4+9=38. Оң жақтағы 6 тек жазықтықтың орналасуына әсер етеді, оның нормаль бағытына кірмейді. Бұл нәтиже координаталардың үш квадратының оң қосындысы.

Жиі кездесетін қате: A) 20: теріс z координатасын квадраттағанда таңбасын теріс қалдырған.

C) 29: нормальдың z координатасын есептемеген.

D) 4: квадраттар орнына координаталарды жай қосқан.

E) 74: теңдеудің оң жағындағы 6 санын нормаль координатасына қосқан.

Қайта орындауға ишара: x, y, z алдындағы коэффициенттерді алып, олардың квадраттарын қосыңыз.