Пирамида Қиық пирамида және олардың элементтері

Ереже: Дұрыс пирамиданың бүйір жақтары тең үшбұрыштар, олардың биіктігі — апофема l. Бір жақтың ауданы қабырға мен апофема көбейтіндісінің жартысына тең. Барлық жақтарды қосқанда S_б=P·l/2 шығады. Апофема пирамиданың кеңістіктегі биіктігінен өзгеше; табан ауданы бүйір бетке кірмейді.

Шешу жолы: Табан квадрат, сондықтан P=4·10=40 см. Бүйір бет S_б=40·7/2=140 см². Әр бүйір үшбұрыштың ауданы 10·7/2=35 см²; төрт жақты қосу да 140 см² береді.

Жиі кездесетін қате: A) 280 см²: әр үшбұрыштың ауданындағы 1/2 коэффициентін жоғалтқан.

B) 35 см²: бір ғана бүйір жақтың ауданын берген.

D) 240 см²: табанды қосып, сұралмаған толық бетті есептеген.

E) 560 см²: жақ санын толық периметрге тағы қолданған, төрт есе артық есептеген.

Қайта орындауға ишара: Квадрат табанның толық периметрін тауып, апофемаға көбейтіп екіге бөліңіз.

Ереже: Пирамиданың толық беті бір табан мен барлық бүйір жақтардан тұрады: S_тол=S_б+S_таб. Призмадағы екі табан формуласы пирамидаға қолданылмайды. Бүйір бет дайын берілгенде оның ішіндегі жақтар санын қайта есептеудің қажеті жоқ; аудан бірліктері бірдей болуы тиіс.

Шешу жолы: S_тол=100+25=125 см². Берілген 100 см² барлық бүйір жақтарды қамтиды, ал 25 см² — жалғыз табан. Екі аудан да см² бірлігінде берілгендіктен оларды тікелей қосуға болады.

Жиі кездесетін қате: A) 150 см²: призма сияқты екі табан қосқан; пирамидада бір табан бар.

B) 100 см²: тек бүйір бетті берген.

C) 25 см²: табанының ауданын ғана қалдырған.

D) 200 см²: бүйір бетті екі еселеп, табанды ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Пирамидада қанша табан бар екенін ескеріп, толық бет бөліктерін қосыңыз.

Ереже: Дұрыс төртбұрышты пирамидада биіктіктің табаны квадрат центрінде жатады. Апофема төбені табан қабырғасының ортасымен қосады. Центрден қабырға ортасына дейінгі қашықтық a/2, сондықтан апофема l=√(h²+(a/2)²). Биіктік пен апофема бір кесінді емес.

Шешу жолы: Қабырға ортасына дейінгі қашықтық 30/2=15 см. Сондықтан l²=20²+15²=400+225=625. Оң түбір l=25 см. Апофема 20 см биіктіктен ұзын, бұл тікбұрышты үшбұрыштағы гипотенуза болуымен сәйкес.

Жиі кездесетін қате: B) 20 см: апофеманы пирамиданың биіктігімен шатастырған.

C) 35 см: биіктік пен жарты қабырғаны жай қосқан.

D) 10√13 см: табанының толық қабырғасын катет ретінде алған; орталықтан қабырға ортасына дейінгі қашықтық жарты қабырға.

E) 625 см: апофема квадратының түбірін алмаған.

Қайта орындауға ишара: Табан центрінен қабырға ортасына дейінгі қашықтықты тауып, Пифагор теоремасын қолданыңыз.

Ереже: Дұрыс қиық пирамиданың бүйір жақтары — биіктігі апофемаға тең трапециялар. Әр трапеция ауданы екі табаны қосындысының жартысын биіктікке көбейту арқылы табылады. Барлық жақтарды қосқанда S_б=(P_үлкен+P_кіші)·l/2 аламыз. Мұнда екі периметр де бірдей ұзындық бірліктерімен беріледі.

Шешу жолы: S_б=(40+20)·3/2=60·3/2=90 см². Екі табанның қабырғалары әр бүйір трапецияның параллель табандарын береді, сондықтан олардың периметрлері қосылады. Апофема кеңістіктегі тік биіктік емес, бүйір жақ биіктігі.

Жиі кездесетін қате: A) 180 см²: трапеция ауданының 1/2 коэффициентін жоғалтқан.

B) 30 см²: екі периметрді қосудың орнына айырмасын алған.

D) 60 см²: кіші табанды ескермей, толық пирамида формуласын қолданған.

E) 45 см²: трапеция формуласындағы екіге бөлуді екі рет орындаған.

Қайта орындауға ишара: Трапециялар ауданы қосындысына сәйкес екі табан периметрлерін қосыңыз.

Ереже: Дұрыс пирамиданың бүйір беті S_б=P·l/2. Апофеманы табу үшін екі жақты екіге көбейтіп, P-ға бөлеміз: l=2S_б/P. Апофема — бүйір үшбұрыш биіктігі. Ауданды периметрге бөлгенде ұзындық шығады; формуладағы жарты коэффициент міндетті сақталады.

Шешу жолы: l=2·50/20=100/20=5 см. Кері тексеру: 20·5/2=50 см². Берілген периметр барлық табан қабырғаларын қамтиды; жақтардың санын бөлек көбейтудің қажеті жоқ.

Жиі кездесетін қате: A) 5/2 см: S=P·l/2 формуласындағы 2 коэффициентін жоғалтқан.

B) 10 см: апофема табылған соң оны тағы екі еселеген.

C) 2000 см: периметрге бөлудің орнына көбейткен.

E) 1/5 см: S пен P қатынасын кері алған.

Қайта орындауға ишара: S_б=P·l/2 теңдігінен l-ді жеке шығарып, нәтижені бастапқы формулаға қайта қойыңыз.