Көпжақты бұрыш Геометриялық дене Көпжақ ұғымы

Ереже: Дөңес көпжақты бұрыштың барлық жазық бұрыштарының қосындысы 360°-тан қатаң кіші. Барлығы тең болса, әр бұрыш α үшін nα<360° орындалады. Бүтін мән сұралғанда теңдікке жеткізетін шекара қабылданбайды; шекарадан кіші ең үлкен бүтін сан таңдалады.

Шешу жолы: 8α<360°. 8·44=352<360, ал келесі бүтін мән 45 үшін 8·45=360≥360. Демек ең үлкен бүтін мән 44°. Тең бұрыштардың әрқайсысы қалғандарының қосындысынан кіші, бұл екінші қажетті шартты да қанағаттандырады.

Жиі кездесетін қате: B) 45 °: 360°/n шекарасын қабылдаған; дөңес көпжақты бұрышта қосынды қатаң кіші.

C) 43 °: мүмкін мәнді тапқан, бірақ сұралған ең үлкен мән емес.

D) 22 °: жазық бұрыштардың қосындысын негізсіз 180°-пен шектеген.

E) 352 °: жақ санын градус санынан азайтқан; тең бұрыштарды қосу орнына басқа амал алған.

Қайта орындауға ишара: Жақ санына бөліп алынған шекараға тең болуға рұқсат бар ма, соны тексеріңіз.

Ереже: Кубтың алты жағы өзара тең квадраттар. Бір жақтың ауданы a², сондықтан толық бетінің ауданы S=6a². Бет ауданы ұзындық квадраттарымен өлшенеді; қырлар қосындысы ұзындық, ал көлем ұзындық кубымен өлшенеді. Толық бетке барлық алты жақ кіреді.

Шешу жолы: Бір квадраттың ауданы 5²=25 см². Алты жақтың аудандарының қосындысы S=6·25=150 см². Куб жабық бет болғандықтан екі табан да есепке алынады; бір жақтың немесе төрт бүйір жақтың ауданы сұралмаған.

Жиі кездесетін қате: A) 25 см²: бір ғана квадрат жақтың ауданын берген.

C) 100 см²: тек төрт бүйір жақты есептеп, екі табанды түсірген.

D) 75 см²: үш жақтың ауданын ғана алған; кубтың толық беті алты жақтан тұрады.

E) 60 см²: қырлар ұзындықтарының қосындысын беттің ауданымен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен бір квадрат жақтың ауданын табыңыз, содан кейін барлық жақ санын ескеріңіз.

Ереже: Үшжақты бұрышта әр жазық бұрыш қалған екеуінің қосындысынан қатаң кіші. Екі бұрыш u және v берілсе, үшіншісі |u−v|<α<u+v шартын қанағаттандырады. Бұрыштар қосындысы 360°-тан кіші болуы да қажет. Бүтін мән үшін жоғарғы шекараға тең сан алынбайды.

Шешу жолы: Бұл жерде |35−45|=10 және 35+45=80. Сондықтан 10<α<80; ең үлкен бүтін мән 79°. Үш бұрыш қосындысы 80+79=159<360°, сондықтан қосымша шарт бұзылмайды. 80° жоғарғы шекараға тең болып, қабылданбайды.

Жиі кездесетін қате: A) 80 °: қатаң теңсіздіктің шекарасын қабылдаған; бір бұрыш қалған екеуінің қосындысына тең болмайды.

B) 81 °: берілген екі бұрыштың қосындысынан асып кеткен.

C) 10 °: екі бұрыш айырмасын алған; бұл ең үлкен мән емес әрі қатаң төменгі шекара.

D) 78 °: мүмкін бұрышты таңдаған, бірақ одан бір градус үлкен мән де мүмкін.

Қайта орындауға ишара: Үшінші бұрыш үшін қатаң жоғарғы шекараны тауып, одан кіші ең үлкен бүтін санды таңдаңыз.

Ереже: Кубтың 12 қыры бар және олардың бәрінің ұзындығы бірдей. Қырлар ұзындықтарының қосындысы 12a-ға тең. Жақ саны алты, төбе саны сегіз болғанымен, бұлар қыр саны емес. Әр қыр екі жаққа ортақ, сондықтан жақтардың периметрлерін қосқанда әр қыр екі рет есептеледі.

Шешу жолы: Төменгі табанда 4 қыр, жоғарғы табанда 4 қыр және оларды қосатын 4 қыр бар: барлығы 12. Демек қосынды 12·5=60 см. Бұл аудан емес, ұзындық; сондықтан өлшем бірлігі см күйінде қалады.

Жиі кездесетін қате: A) 30 см: алты жақтың санын қырлар саны деп алған.

B) 40 см: сегіз төбені қырлармен шатастырған.

C) 120 см: әр қырды көршілес екі жақта екі рет санаған.

E) 150 см: толық бет ауданын қыр ұзындығының қосындысы орнына есептеген.

Қайта орындауға ишара: Кубтың екі табанындағы және оларды қосатын қырларды бөлек санап көріңіз.

Ереже: Бөлек модельдердің төбелері ортақ болмаса, барлық төбелер саны әр модельдегі төбелер санының қосындысына тең. Кубтың сегіз төбесі бар. Бірдей n модель үшін бұл қосынды 8n болады; ортақ төбелер болмағандықтан артық саналған нүктелерді шегерудің қажеті жоқ.

Шешу жолы: Берілген 5 кубтың әрқайсысында 8 төбе бар, сондықтан N=8·5=40. Бір модельдің төбелері басқа модельдің төбелерімен біріктірілмейді. Жақ саны 6 және қыр саны 12 — басқа элементтер; олар төбелердің жалпы санын бермейді.

Жиі кездесетін қате: A) 30: әр модельдегі жақ санын төбе санының орнына қолданған.

B) 60: әр модельдегі қыр санын төбе саны деп алған.

C) 13: модель санын төбе санына көбейтудің орнына қосқан.

D) 8: бір ғана модельді санаған, қалған бөлек модельдерді ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Модельдер бөлек екенін ескеріп, бір модельдің төбелер санын модель санына көбейтіңіз.