Алгебралық теңсіздіктер

Ереже: Теңсіздіктің екі жағын оң санға көбейткенде не бөлгенде белгі сақталады, теріс санға көбейткенде не бөлгенде белгі кері өзгереді. Қатаң белгі теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес белгі оны қамтиды. Квадрат теріс емес: x²≤a², a>0 шарты −a≤x≤a береді. (x−a)² тек x=a кезінде нөл, қалған барлық нақты нүктеде оң. Жауап жиыны бастапқы теңсіздікті толық сипаттауы қажет.

Шешу жолы: 2x>8, екі жақты оң 2 санына бөліп x>4 аламыз. x=4 кезінде екі жақ тең, бұл қатаң шартты орындамайды. x=5 қойсақ сол жақ 10, ол оң жақтан үлкен.

Жиі кездесетін қате: A) [4; +∞): қатаң > белгісіне теңдік нүктесін енгізген.

B) (−∞; 4): оң коэффициентке бөлгенде салыстыру бағытын қате өзгерткен.

C) (8; +∞): 2 коэффициентіне бөлуді орындамаған.

E) (−∞; −4): бөлу кезінде бағытты да, шекара таңбасын да негізсіз ауыстырған.

Қайта орындауға ишара: Оң санға бөлгенде белгі сақталатынын және шекараның қатаң екенін тексеріңіз.

Ереже: Теңсіздіктің екі жағын оң санға көбейткенде не бөлгенде белгі сақталады, теріс санға көбейткенде не бөлгенде белгі кері өзгереді. Қатаң белгі теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес белгі оны қамтиды. Квадрат теріс емес: x²≤a², a>0 шарты −a≤x≤a береді. (x−a)² тек x=a кезінде нөл, қалған барлық нақты нүктеде оң. Жауап жиыны бастапқы теңсіздікті толық сипаттауы қажет.

Шешу жолы: −2x>8. Теріс −2 санына бөлгенде белгі ауысады: x<−4. Шекара қабылданбайды. x=−5 қойсақ −2x=10>8, жауаптың бағыты дұрыс.

Жиі кездесетін қате: A) (−4; +∞): теріс 2 санына бөлгенде белгіні кері өзгертпеген.

C) (−∞; −4]: қатаң белгіге қарамай теңдік нүктесін қосқан.

D) (4; +∞): теріс коэффициенттің таңбасын жоғалтқан.

E) (−∞; −8): −2 коэффициентіне толық бөлмей, оң жақтың модулін сақтаған.

Қайта орындауға ишара: Теріс санға бөлу белгісін ауыстыруды талап етеді.

Ереже: Теңсіздіктің екі жағын оң санға көбейткенде не бөлгенде белгі сақталады, теріс санға көбейткенде не бөлгенде белгі кері өзгереді. Қатаң белгі теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес белгі оны қамтиды. Квадрат теріс емес: x²≤a², a>0 шарты −a≤x≤a береді. (x−a)² тек x=a кезінде нөл, қалған барлық нақты нүктеде оң. Жауап жиыны бастапқы теңсіздікті толық сипаттауы қажет.

Шешу жолы: x²≤16 шарты |x|≤4 дегенді білдіреді. Сондықтан −4≤x≤4, екі шекарада квадрат 16-ға тең. Теріс ішкі нүктелер де шешім, мысалы x=−1 кезінде 1≤16.

Жиі кездесетін қате: A) (−4; 4): қатаң емес ≤ белгісіндегі екі шекараны алып тастаған.

C) [4; +∞): оң шекараның сыртындағы сандарды алған; олардың квадраты тым үлкен.

D) (−∞; −4]: тек теріс сыртқы жарты осьті алған; модулі үлкен сандар шартты орындамайды.

E) [0; 4]: теріс шешімдерді жоғалтып, x² жұп функция екенін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Квадратты модуль арқылы түсіндіріп, нөлден екі жаққа бірдей шекара қойыңыз.

Ереже: Теңсіздіктің екі жағын оң санға көбейткенде не бөлгенде белгі сақталады, теріс санға көбейткенде не бөлгенде белгі кері өзгереді. Қатаң белгі теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес белгі оны қамтиды. Квадрат теріс емес: x²≤a², a>0 шарты −a≤x≤a береді. (x−a)² тек x=a кезінде нөл, қалған барлық нақты нүктеде оң. Жауап жиыны бастапқы теңсіздікті толық сипаттауы қажет.

Шешу жолы: x+4≤0 теңсіздігінің екі жағынан 4 шегереміз: x≤−4. Шекарада қосынды нөл, сондықтан ол кіреді. x=−5 кезінде қосынды −1≤0, бағыт дұрыс.

Жиі кездесетін қате: A) (−∞; −4): ≤ белгісіндегі теңдік нүктесін шығарған.

B) [−4; +∞): тұрақтыны шегергенде салыстыру бағытын негізсіз кері алған.

C) (−∞; 4]: тұрақтыны екінші жаққа сол таңбамен көшірген.

D) [−4; 4]: сызықтық теңсіздікті квадраттың екі жақты шектеуімен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Екі жақтан бірдей тұрақтыны шегеріп, белгі сақталатынын ескеріңіз.

Ереже: Теңсіздіктің екі жағын оң санға көбейткенде не бөлгенде белгі сақталады, теріс санға көбейткенде не бөлгенде белгі кері өзгереді. Қатаң белгі теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес белгі оны қамтиды. Квадрат теріс емес: x²≤a², a>0 шарты −a≤x≤a береді. (x−a)² тек x=a кезінде нөл, қалған барлық нақты нүктеде оң. Жауап жиыны бастапқы теңсіздікті толық сипаттауы қажет.

Шешу жолы: (x−4)² әрқашан теріс емес және тек x=4 кезінде нөл. Шарт қатаң >0 болғандықтан осы бір нүкте шығарылады, қалған барлық нақты x қабылданады. Мысалы 3 және 5 аргументтерінде квадрат 1.

Жиі кездесетін қате: A) [4; +∞): шешімді бір жарты оське шектеген және нөл болатын шекараны қосқан.

B) (4; +∞): тек оң ығысуларды алған; теріс ығысу квадраты да оң.

D) (−∞; 4): тек теріс ығысуларды алған; оң ығысу квадраты да оң.

E) Барлық нақты сандар: x=4 кезінде квадрат нөл болатынын ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Квадраттың нөлге тең болатын жалғыз нүктесін анықтаңыз.