Алғашқы функция интеграл және оның қолданулары

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: ∫4x²dx=(4/3)x³+C. Тексеру: ((4/3)x³+C)′=4x², тұрақтының туындысы нөл. Әр түрлі C бірдей бастапқы функцияға келеді; барлық алғашқы функцияларды көрсету үшін C еркін болуы керек.

Жиі кездесетін қате: A) F(x)=4x^3+C: дәрежені арттырғанмен, жаңа 3 көрсеткішіне бөлуді ұмытқан.

B) F(x)=8x+C: интегралдау орнына туындыға жақын өрнек алған.

D) F(x)=2x^2+C: дәрежені арттырмай, тек коэффициентті екіге бөлген.

E) F(x)=(4/3)x^3: бір ғана алғашқы функцияны берген; барлық алғашқы функциялар үшін еркін C қажет.

Қайта орындауға ишара: Дәреже көрсеткішін бірге арттырып, жаңа көрсеткішке бөліңіз; еркін тұрақтыны қосыңыз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: Алғашқы функция F(x)=(8/3)x³. Сондықтан интеграл F(3)−F(0)=(8/3)·27−0=72. Аралықта 8x²≥0, нәтиженің оң болуы геометриялық түсіндірумен сәйкес келеді.

Жиі кездесетін қате: A) 216: алғашқы функцияда жаңа 3 дәрежесіне бөлуді жоғалтқан.

C) 24: x² мүшесін интегралдағанда дәрежені арттыруды ұмытып, тек шек ұзындығына көбейткен.

D) -72: жоғарғы және төменгі шектің айырмасын кері алған.

E) 36: интеграл коэффициентін негізсіз екіге азайтқан.

Қайта орындауға ишара: Алғашқы функцияны тауып, жоғарғы шектегі мәннен төменгі шектегіні шегеріңіз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: 0≤x≤3 аралығында 12x²≥0. Сондықтан аудан ∫[0; 3]12x²dx=[4x³]₀³=4·27=108. y=0 төменгі шекара, сондықтан функциялардың айырмасы 12x²; қисық астындағы аудан интегралмен табылады.

Жиі кездесетін қате: A) 324: x² интегралындағы 1/3 коэффициентін жоғалтқан.

C) 36: функцияның өзгеруін ескермей, 12 тұрақтысын ғана еніне көбейткен.

D) -108: геометриялық ауданға интегралдың негізсіз теріс таңбасын берген.

E) 54: ауданды үшбұрыш формуласымен екіге бөліп, қисықтың квадраттық екенін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Функция оң болғандықтан геометриялық аудан оның анықталған интегралына тең.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: F(4)=4²+C=16+C. Шарт бойынша 16+C=19, сондықтан C=3. Қайта тексеру: F(4)=16+3=19 және F′(x)=2x, бастапқы функциямен байланыс сақталған.

Жиі кездесетін қате: A) 19: берілген F(4) мәнін C тұрақтысымен шатастырған.

B) 16: x² мүшесінің нүктелік мәнін тұрақты деп берген.

C) 35: F(4)=16+C теңдігінен 16-ны шегеру орнына қосқан.

D) -3: азайту ретін кері алған.

Қайта орындауға ишара: Берілген аргументті алғашқы функцияға қойып, C үшін сызықтық теңдеу құрыңыз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: Фигура — биіктігі 8, ені 2 тік төртбұрыш. Ауданы 8·2=16 бірлік². Таңбалы ∫[0; 2](−8)dx=−16, бірақ геометриялық аудан үшін модуль алынып, оң 16 шығады.

Жиі кездесетін қате: B) −16 бірлік²: таңбалы интегралды геометриялық аудан деп алған; аудан теріс болмайды.

C) 8 бірлік²: биіктікті ғана берген, ені 2-ге көбейтпеген.

D) 32 бірлік²: ені 2-ні екі рет көбейткен.

E) 0 бірлік²: график осьтен төмен жатқанда аудан болмайды деп қате қабылдаған.

Қайта орындауға ишара: Осьтен төмен график үшін биіктіктің модулін пайдаланыңыз.