Сан тізбегі және прогрессиялар Комбинаторика

Ереже: Арифметикалық прогрессияда әр көрші мүшенің айырмасы бірдей: a_n=a₁+(n−1)d. Геометриялық прогрессияда еселік q тұрақты: b_n=b₁q^(n−1). Арифметикалық прогрессия қосындысы S_n=n(a₁+a_n)/2. Комбинаторикада реттің маңызын ажыратамыз: екі түрлі рөлге тағайындау n(n−1) тәсіл береді, ал реті маңызды емес екі элементті таңдау n(n−1)/2 тәсіл береді. Бір элементті екі рет алу шартта рұқсат етілмесе, оны шығаруға тиіспіз.

Шешу жолы: a₅=a₁+(5−1)d=4+4·3=16. Бірінші мүшеден бесінші мүшеге дейін төрт қадам бар. Тізбекті тексерсек 4, 7, 10, 13, 16; соңғысы сұралған мүше.

Жиі кездесетін қате: A) 19: бірінші мүшеден бесіншіге дейін төрт емес, бес айырма қосқан.

B) 13: үш айырма ғана қосып, төртінші мүшені алған.

C) 20: арифметикалық прогрессияны бірінші мүшені реттік нөмірге көбейту деп түсінген.

E) 7: екінші мүшемен тоқтап, қажетті реттік нөмірді ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Бірінші мүшеге n емес, n−1 айырма қосылатынын ескеріңіз.

Ереже: Арифметикалық прогрессияда әр көрші мүшенің айырмасы бірдей: a_n=a₁+(n−1)d. Геометриялық прогрессияда еселік q тұрақты: b_n=b₁q^(n−1). Арифметикалық прогрессия қосындысы S_n=n(a₁+a_n)/2. Комбинаторикада реттің маңызын ажыратамыз: екі түрлі рөлге тағайындау n(n−1) тәсіл береді, ал реті маңызды емес екі элементті таңдау n(n−1)/2 тәсіл береді. Бір элементті екі рет алу шартта рұқсат етілмесе, оны шығаруға тиіспіз.

Шешу жолы: b₄=b₁q³=4·2³=32. Бірінші мүшеден кейін үш еселеу жасалады: 4, 8, 16, 32. Қосылған тұрақты өсім бұл тізбекті сипаттамайды; әр көрші мүшенің қатынасы 2.

Жиі кездесетін қате: A) 64: q көрсеткішін 4 деп алып, бесінші мүшені есептеген.

C) 16: екі рет қана еселеу жасап, үшінші мүшені алған.

D) 10: геометриялық прогрессияға арифметикалық прогрессияның формуласын қолданған.

E) 4: бірінші мүшеден кейін еселеулерді орындамаған.

Қайта орындауға ишара: Төртінші мүшеге дейін қанша рет 2-ге көбейту керек екенін санаңыз.

Ереже: Арифметикалық прогрессияда әр көрші мүшенің айырмасы бірдей: a_n=a₁+(n−1)d. Геометриялық прогрессияда еселік q тұрақты: b_n=b₁q^(n−1). Арифметикалық прогрессия қосындысы S_n=n(a₁+a_n)/2. Комбинаторикада реттің маңызын ажыратамыз: екі түрлі рөлге тағайындау n(n−1) тәсіл береді, ал реті маңызды емес екі элементті таңдау n(n−1)/2 тәсіл береді. Бір элементті екі рет алу шартта рұқсат етілмесе, оны шығаруға тиіспіз.

Шешу жолы: Төрт мүшені қоссақ 4+6+8+10=28. Формуламен тексеру: S₄=4(4+10)/2=28. Бірінші және соңғы мүшелер, екінші және үшінші мүшелер тең қосынды беретін екі жұп құрайды.

Жиі кездесетін қате: A) 14: бірінші және төртінші мүшелердің қосындысымен тоқтап, екі жұп барын ескермеген.

B) 10: қосынды орнына төртінші мүшені берген.

C) 16: барлық төрт мүшені бірінші мүшеге тең деп алған.

D) 56: дұрыс қосындыны екі рет есептеп, 1/2 көбейткішін жоғалтқан.

Қайта орындауға ишара: Шеткі мүшелердің қосындысын жұптар санына көбейтіңіз.

Ереже: Арифметикалық прогрессияда әр көрші мүшенің айырмасы бірдей: a_n=a₁+(n−1)d. Геометриялық прогрессияда еселік q тұрақты: b_n=b₁q^(n−1). Арифметикалық прогрессия қосындысы S_n=n(a₁+a_n)/2. Комбинаторикада реттің маңызын ажыратамыз: екі түрлі рөлге тағайындау n(n−1) тәсіл береді, ал реті маңызды емес екі элементті таңдау n(n−1)/2 тәсіл береді. Бір элементті екі рет алу шартта рұқсат етілмесе, оны шығаруға тиіспіз.

Шешу жолы: Екі түрлі кітапты ретімен алу 4·3=12 тәсіл береді. Бірақ шартта рет маңызды емес, әр жұп екі рет саналған. Сондықтан C_4²=4·3/2=6. Бір кітап екі орынға бірдей алынбайды.

Жиі кездесетін қате: A) 12: екі кітаптың ретін маңызды деп алып, әр жұпты екі рет санаған.

B) 16: бір кітапты қайта таңдауға рұқсат беріп, ретті де есептеген.

C) 4: екі кітап орнына бір кітапты таңдаудың санын берген.

E) 10: бір кітапты өзімен жұптауға рұқсат берген; екі түрлі кітап керек.

Қайта орындауға ишара: Әр екі кітап жұбы екі рет санала ма, соны тексеріңіз.

Ереже: Арифметикалық прогрессияда әр көрші мүшенің айырмасы бірдей: a_n=a₁+(n−1)d. Геометриялық прогрессияда еселік q тұрақты: b_n=b₁q^(n−1). Арифметикалық прогрессия қосындысы S_n=n(a₁+a_n)/2. Комбинаторикада реттің маңызын ажыратамыз: екі түрлі рөлге тағайындау n(n−1) тәсіл береді, ал реті маңызды емес екі элементті таңдау n(n−1)/2 тәсіл береді. Бір элементті екі рет алу шартта рұқсат етілмесе, оны шығаруға тиіспіз.

Шешу жолы: Төрағаға 4 адамның бірі таңдалады. Одан кейін хатшыға қалған 3 адамның бірі алынады. Көбейту ережесі бойынша 4·3=12. Рөлдер әртүрлі болғандықтан орындарын ауыстырған екі тағайындау бөлек саналады.

Жиі кездесетін қате: B) 6: рөлдері әртүрлі екі адамды реті маңызды емес жұп деп санаған.

C) 16: бір адамның екі қызметті қатар атқаруына рұқсат берген.

D) 4: тек төрағаны таңдап, хатшы таңдауды ескермеген.

E) 20: бірінші адам таңдалғаннан кейін қалғандардың санын азайтудың орнына арттырған.

Қайта орындауға ишара: Екінші рөлге бірінші таңдалған адамды қайта алуға болмайтынын және реттің маңызды екенін ескеріңіз.