Туынды және оның қолданулары

Ереже: Дәрежелік функция туындысы (x^n)′=nx^(n−1), тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Жанаманың көлбеу коэффициенті k=f′(x₀), теңдеуі y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Сондықтан y=kx+b түріндегі бос мүше b=f(x₀)−kx₀. Минимумда тек туындының нөл болуын емес, функцияның маңайдағы мәндерімен салыстыруды да тексереміз. Аргумент пен функцияның минимум мәнін ажырату қажет.

Шешу жолы: f′(x)=4·2x=8x, сондықтан f′(1)=8. Коэффициент 4 сақталады, x² туындысы 2x болады. Функцияның f(1)=4 мәні сұралған өзгеру жылдамдығынан бөлек.

Жиі кездесетін қате: A) 4: x² туындысындағы 2 көбейткішін жоғалтқан.

B) 0: алдымен x=1 қойып, дайын саннан туынды алған.

D) 16: туындыда бастапқы коэффициентті негізсіз квадраттаған.

E) 2: функция алдындағы 4 тұрақты көбейткішін түсірген.

Қайта орындауға ишара: Тұрақты көбейткішті сақтап, алдымен x²-тан туынды алыңыз.

Ереже: Дәрежелік функция туындысы (x^n)′=nx^(n−1), тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Жанаманың көлбеу коэффициенті k=f′(x₀), теңдеуі y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Сондықтан y=kx+b түріндегі бос мүше b=f(x₀)−kx₀. Минимумда тек туындының нөл болуын емес, функцияның маңайдағы мәндерімен салыстыруды да тексереміз. Аргумент пен функцияның минимум мәнін ажырату қажет.

Шешу жолы: f′(x)=3x²−4. x=0 болғанда 3·0²=0, сондықтан f′(0)=−4. Теріс таңба графиктің осы нүктеде кему бағытын көрсетеді; f(0)=0 болуы туындыны нөл етпейді.

Жиі кездесетін қате: A) 0: f(0) функция мәнін туындының мәні деп алған.

B) 4: −4x мүшесінің таңбасын туындыда жоғалтқан.

C) -1: 3x² мүшесіне x=0 орнына x=1 қойған.

E) 3: тек x³ мүшесінің көрсеткішін алып, қалған мүшені ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Әр мүшені жеке дифференциалдап, нүктені соңынан қойыңыз.

Ереже: Дәрежелік функция туындысы (x^n)′=nx^(n−1), тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Жанаманың көлбеу коэффициенті k=f′(x₀), теңдеуі y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Сондықтан y=kx+b түріндегі бос мүше b=f(x₀)−kx₀. Минимумда тек туындының нөл болуын емес, функцияның маңайдағы мәндерімен салыстыруды да тексереміз. Аргумент пен функцияның минимум мәнін ажырату қажет.

Шешу жолы: f(x)=4x+2 түзуінің туындысы f′(x)=4. Осы түзудің әр нүктесіндегі жанама өзімен беттеседі, сондықтан көлбеу коэффициенті k=4. Бос мүше 2 түзудің биіктігін өзгертеді, оның көлбеуін өзгертпейді.

Жиі кездесетін қате: B) 2: түзудің бос мүшесін көлбеу коэффициенті деп алған.

C) 6: x=1 нүктесіндегі функция мәнін туынды деп алған.

D) 0: сызықтық функцияны тұрақты функциямен шатастырған.

E) 1/4: көлбеу коэффициенттің орнына оның кері санын алған.

Қайта орындауға ишара: Сызықтық функция туындысын алып, k мәнімен салыстырыңыз.

Ереже: Дәрежелік функция туындысы (x^n)′=nx^(n−1), тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Жанаманың көлбеу коэффициенті k=f′(x₀), теңдеуі y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Сондықтан y=kx+b түріндегі бос мүше b=f(x₀)−kx₀. Минимумда тек туындының нөл болуын емес, функцияның маңайдағы мәндерімен салыстыруды да тексереміз. Аргумент пен функцияның минимум мәнін ажырату қажет.

Шешу жолы: f′(x)=2x. x₀=4 нүктесінде k=8, f(x₀)=16. Сондықтан b=16−8·4=−16. Жанама y=8x−16; x=4 қойсақ y=16, жанасу нүктесі сақталады.

Жиі кездесетін қате: A) 16: b=f(x₀)−kx₀ формуласындағы азайтуды орындамай функция мәнін алған.

B) 8: жанаманың көлбеу коэффициентін b бос мүшесі деп берген.

C) 4: жанасу нүктесінің абсциссасын b мәнімен шатастырған.

D) 0: жанама міндетті түрде координаталар басынан өтеді деп ойлаған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен k табыңыз, содан кейін жанасу нүктесін y=kx+b теңдеуіне қойыңыз.

Ереже: Дәрежелік функция туындысы (x^n)′=nx^(n−1), тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Жанаманың көлбеу коэффициенті k=f′(x₀), теңдеуі y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Сондықтан y=kx+b түріндегі бос мүше b=f(x₀)−kx₀. Минимумда тек туындының нөл болуын емес, функцияның маңайдағы мәндерімен салыстыруды да тексереміз. Аргумент пен функцияның минимум мәнін ажырату қажет.

Шешу жолы: (x−4)²≥0, теңдік тек x=4 кезінде орындалады. Сондықтан минимум нүктесінің абсциссасы 4, минимум мәні 0. Туындымен тексеру: f′(x)=2(x−4), сол жағында теріс, оң жағында оң.

Жиі кездесетін қате: A) 0: минимум мәнін оның абсциссасы деп берген.

B) -4: жақшадағы ығысудың таңбасын теңдеу шешкенде кері алған.

C) 8: туындыдағы 2 коэффициентін аргументке негізсіз көбейткен.

E) 16: ығысуды квадраттап, минимумның координатасын қате алған.

Қайта орындауға ишара: Квадрат нөл болатын аргументті тауып, оны минимум мәнінен ажыратыңыз.