Коэффициенттері тұрақты екінші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: Сипаттамалық теңдеу r²−16=0, түбірлері r=±4. Сондықтан y=C₁e^(4x)+C₂e^(−4x). Әр көрсеткіштік мүшенің екінші туындысы өзінен 16 есе үлкен, сондықтан бастапқы теңдеудің сол жағы нөл болады.

Жиі кездесетін қате: A) y=C₁+C₂x: екінші туынды нөл болғанымен, y мүшесі жалпы жағдайда нөл емес.

B) y=C₁e^(16x)+C₂: сипаттамалық түбірді 16 деп алған және тұрақты мүшені шешім санаған.

C) y=C₁x^4+C₂: дәрежелік шешімді таңдаған; оның екінші туындысы тұрақты коэффициентпен бастапқы функцияға тең емес.

E) y=C₁cos(4x)+C₂sin(4x): y мүшесінің таңбасына сәйкес емес типті таңдаған; көрсеткіштік және тербелмелі шешімдер ауысып кеткен.

Қайта орындауға ишара: Сипаттамалық теңдеудегі тұрақты мүшенің таңбасын тексеріңіз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: Сипаттамалық теңдеу r²+16=0, түбірлері r=±4i. Нақты жалпы шешім y=C₁cos(4x)+C₂sin(4x). Әр тригонометриялық мүшенің екінші туындысы −16 көбейткішімен қайтады; y мүшесімен қосқанда нөл болады.

Жиі кездесетін қате: B) y=C₁+C₂x: екінші туынды нөл болғанымен, y мүшесі жалпы жағдайда нөл емес.

C) y=C₁e^(16x)+C₂: сипаттамалық түбірді 16 деп алған және тұрақты мүшені шешім санаған.

D) y=C₁x^4+C₂: дәрежелік шешімді таңдаған; оның екінші туындысы тұрақты коэффициентпен бастапқы функцияға тең емес.

E) y=C₁e^(4x)+C₂e^(−4x): y мүшесінің таңбасына сәйкес емес типті таңдаған; көрсеткіштік және тербелмелі шешімдер ауысып кеткен.

Қайта орындауға ишара: Сипаттамалық теңдеудегі тұрақты мүшенің таңбасын тексеріңіз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: Сипаттамалық теңдеу r²−8r+16=0. Сол жақ (r−4)², сондықтан r=4 — еселі түбір. D=(8)²−4·16=0 теңдігі еселікті көрсетеді, түбірдің өзін нөлге айналдырмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 8: сызықтық коэффициенттің модулін түбір деп алған; оны екіге бөлу қажет.

B) -4: (r−4)² жіктелуіндегі таңбаны кері оқыған.

C) 16: тұрақты мүшені түбірдің өзі деп қабылдаған.

D) 0: дискриминант нөл болғанын түбір нөл дегенмен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Квадрат үшмүшені толық квадрат түріне келтіріңіз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: y′=C₁ және y(0)=C₂. Шарттардан C₁=4, C₂=2, демек y=4x+2. x=2 кезінде y(2)=2·4+2=10. Бұл функцияның екінші туындысы нөл, бастапқы екі шарт та орындалады.

Жиі кездесетін қате: A) 8: y(0)=2 бастапқы мәнін қосу керек екенін ұмытқан.

B) 6: x=2 аргументін x=1 деп алып, бір ғана өсім қосқан.

D) 4: y′(0) туындысының мәнін y(2) функция мәнімен шатастырған.

E) 18: сызықтық функция орнына квадраттық өсім қолданған; екінші туынды нөл болмайды.

Қайта орындауға ишара: Алдымен туынды шартынан C₁, функция шартынан C₂ табыңыз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: y′=4e^(4x), y″=16e^(4x). Сондықтан y″=16y және k=16. Екінші туындыда ішкі сызықтық көрсеткіштің коэффициенті екінші рет көбейтіледі; оның квадраты оң.

Жиі кездесетін қате: A) 4: бірінші туынды коэффициентімен тоқтаған; екінші туынды керек.

B) -16: көрсеткіштік функцияны тригонометриялық функцияның екінші туындысымен шатастырған.

C) 8: ішкі коэффициентті квадраттау орнына екіге көбейткен.

E) 1: екі рет туынды алғанда да ішкі 4 көбейткішін жоғалтқан.

Қайта орындауға ишара: Көрсеткіштік функциядан қатарынан екі рет туынды алыңыз.