Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: Ұсынылған y=Ce^(4x) функциясын тексерсек y′=4Ce^(4x)=4y. C кез келген нақты сан, оның C=0 мәні y=0 шешімін де береді. Бастапқы шарт жоқ болғандықтан C бекітілмейді.

Жиі кездесетін қате: B) y=Ce^(−4x): туындыдағы коэффициент −4 болады, берілген теңдеудегі таңбаға қайшы.

C) y=C+4x: туынды тұрақты, ал оң жақ функцияның өзіне тәуелді; жалпы шешім емес.

D) y=Cx^4: дәрежелік функция туындысы оған тұрақты 4 коэффициентпен пропорционал болмайды.

E) y=Csin(4x): туынды косинус береді, ол бастапқы синусқа барлық x үшін тең емес.

Қайта орындауға ишара: Жауаптағы әр функцияның туындысын оның өзімен салыстырыңыз.

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: y′=4x болғандықтан y=(4/2)x²+C. y(0)=3 шарты C=3 береді. Сондықтан y(2)=(4/2)·4+3=11. Қайта дифференциалдасақ бастапқы 4x функциясы алынады.

Жиі кездесетін қате: A) 7: x² дәрежесін бір саты кемітіп, y=4/2·x+3 түрін алған.

B) 8: интегралдау тұрақтысын жоғалтып, y(0)=3 шартын ескермеген.

D) 19: x-ті интегралдағанда 1/2 коэффициентін жоғалтқан.

E) -11: функцияның барлық мүшелеріне негізсіз теріс таңба қосқан; туынды да, бастапқы шарт та орындалмайды.

Қайта орындауға ишара: Алдымен ax функциясын интегралдап, тұрақтыны x=0 шартымен табыңыз.

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: Толық шешімді табу міндетті емес: теңдеу әр нүктеде y′=4y байланысын береді. x=0 қойсақ y′(0)=4y(0)=4·2=8. Бұл бастапқы функция мәнінен бөлек, сол нүктедегі өзгеру жылдамдығы.

Жиі кездесетін қате: A) 4: y(0)=2 көбейткішін ескермеген.

B) 2: функцияның бастапқы мәнін оның өзгеру жылдамдығы деп берген.

D) 16: y(0)=2 орнына коэффициенттің өзін қойған.

E) -8: теңдеудегі оң пропорционалдық коэффициенттің таңбасын өзгерткен.

Қайта орындауға ишара: Бастапқы y мәнін дифференциалдық теңдеудің оң жағына тікелей қойыңыз.

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: y′=4 тұрақты, сондықтан y= 4x+C. y(1)=2 шарты C=2−4 береді. y(3)=3·4+2−4=10. Басқа тексеру: бастапқы мәнге 4(3−1) өсімін қосамыз.

Жиі кездесетін қате: A) 14: бастапқы 2 мәнін x=0 нүктесіне қатысты тұрақты деп қате алған; шарт x=1-де.

B) 12: интегралдау тұрақтысын нөл деп алған; y(1)=2 орындалмайды.

C) 8: x=1-ден x=3-ке дейінгі өсіммен тоқтап, бастапқы 2 мәнін қоспаған.

E) 6: аргумент өсімін 3−1=2 орнына 1 деп алған.

Қайта орындауға ишара: Өзгерісті бастапқы шарт берілген x=1 нүктесінен есептеңіз.

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: y=e^(4x) функциясының туындысы y′=4e^(4x)=4y. Сондықтан k=4. y барлық нақты x үшін оң, оған бөлуге болады; коэффициент бір ғана туындыдан алынады.

Жиі кездесетін қате: A) 1: e^x туындысын күрделі көрсеткішке ішкі туындысыз қолданған.

B) 0: көрсеткіштік функцияны тұрақты деп қабылдаған.

C) -4: көрсеткіш ішіндегі оң коэффициентке теріс таңба қосқан.

E) 16: бірінші туындыны екінші туындының коэффициентімен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Күрделі көрсеткіштік функцияның ішкі туындысын сақтаңыз.