Көрсеткіштік теңсіздіктер

Ереже: Салыстыру алдында көрсеткіштік теңсіздіктің екі жағын бірдей оң негізге келтіреміз. Негіз бірден үлкен болса, көрсеткіштерді салыстырғанда белгі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Қатаң теңсіздік теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес теңсіздік оны қамтиды. Көрсеткіштік функция барлық нақты аргументте анықталған, сондықтан логарифмге тән x>0 шартын оған қоспаймыз.

Шешу жолы: 9=3^2, негіз 3>1. Сондықтан 3^x>3^2 теңсіздігі x>2 шартымен мәндес. x=2 нүктесінде екі жақ тең, сондықтан ол кірмейді; одан үлкен аргументтер қабылданады.

Жиі кездесетін қате: B) [2; +∞): қатаң > белгісіне қарамай теңдік нүктесін енгізген.

C) (−∞; 2): негіз бірден үлкен болса да салыстыру бағытын кері алған.

D) (−∞; 2]: бағытты кері алып, теңдік нүктесін де енгізген.

E) (0; +∞): көрсеткіштік функцияның аргументін логарифм сияқты тек оң деп шектеген; қажетті төменгі шек те жоғалған.

Қайта орындауға ишара: Негізді 1-мен салыстырып, теңдік нүктесі қатаң шартқа кіре ме екенін тексеріңіз.

Ереже: Салыстыру алдында көрсеткіштік теңсіздіктің екі жағын бірдей оң негізге келтіреміз. Негіз бірден үлкен болса, көрсеткіштерді салыстырғанда белгі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Қатаң теңсіздік теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес теңсіздік оны қамтиды. Көрсеткіштік функция барлық нақты аргументте анықталған, сондықтан логарифмге тән x>0 шартын оған қоспаймыз.

Шешу жолы: Негіз 1/3 нөл мен бір арасында, функция кемиді. Сондықтан (1/3)^x>(1/3)^2 шарты x<2 береді. Теңдік нүктесі қабылданбайды; теріс x мәндері де анықталу облысында жатады.

Жиі кездесетін қате: A) (2; +∞): бірден кіші негіз үшін салыстыру бағытын ауыстырмаған.

B) [2; +∞): бағытты ауыстырмаған және теңдік нүктесін қосқан.

D) (−∞; 2]: қатаң салыстыруға теңдік нүктесін енгізген.

E) (0; 2): негіз оң болғанын x те оң болу керек деп қате түсінген.

Қайта орындауға ишара: Кемімелі функцияны салыстырғанда көрсеткіштердегі белгіні кері өзгертіңіз.

Ереже: Салыстыру алдында көрсеткіштік теңсіздіктің екі жағын бірдей оң негізге келтіреміз. Негіз бірден үлкен болса, көрсеткіштерді салыстырғанда белгі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Қатаң теңсіздік теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес теңсіздік оны қамтиды. Көрсеткіштік функция барлық нақты аргументте анықталған, сондықтан логарифмге тән x>0 шартын оған қоспаймыз.

Шешу жолы: 1=3^0, сондықтан 3^(x−4)≤3^0. Негіз 3>1 болғандықтан x−4≤0, яғни x≤4. x=4 кезінде сол жақ 1, бұл қатаң емес шартты қанағаттандырады.

Жиі кездесетін қате: A) (−∞; 4): ≤ белгісіндегі теңдік нүктесін негізсіз шығарған.

B) [4; +∞): бірден үлкен негіз үшін салыстыру бағытын кері алған.

D) (4; +∞): бағытты кері алған және теңдік нүктесін жоғалтқан.

E) (0; 4]: көрсеткіштік функцияға негізсіз x>0 шектеуін қосқан.

Қайта орындауға ишара: Оң жақтағы 1-ді сол негіздің нөлдік дәрежесі түрінде жазыңыз.

Ереже: Салыстыру алдында көрсеткіштік теңсіздіктің екі жағын бірдей оң негізге келтіреміз. Негіз бірден үлкен болса, көрсеткіштерді салыстырғанда белгі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Қатаң теңсіздік теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес теңсіздік оны қамтиды. Көрсеткіштік функция барлық нақты аргументте анықталған, сондықтан логарифмге тән x>0 шартын оған қоспаймыз.

Шешу жолы: 3^x≥3^2, негіз 3>1. Демек x≥2; шекарада екі жақ бірдей 9. x=1 мәнінде сол жақ 3, ол 9-тен кіші, сондықтан бүкіл сан осі шешім емес.

Жиі кездесетін қате: B) (2; +∞): ≥ белгісіндегі теңдік нүктесін алып тастаған.

C) (−∞; 2]: негіз бірден үлкен болса да салыстыру бағытын кері алған.

D) (−∞; 2): бағытты кері алған және теңдік нүктесін шығарған.

E) Барлық нақты сандар: сол жақ оң болуын жеткілікті деп қабылдаған; ол барлық x үшін берілген оң шектен үлкен емес.

Қайта орындауға ишара: Қатаң емес теңсіздікте табылған шекараны жауап жиынына енгізіңіз.

Ереже: Салыстыру алдында көрсеткіштік теңсіздіктің екі жағын бірдей оң негізге келтіреміз. Негіз бірден үлкен болса, көрсеткіштерді салыстырғанда белгі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Қатаң теңсіздік теңдік нүктесін қабылдамайды, қатаң емес теңсіздік оны қамтиды. Көрсеткіштік функция барлық нақты аргументте анықталған, сондықтан логарифмге тән x>0 шартын оған қоспаймыз.

Шешу жолы: Негіз 1/3 бірден кіші. Сондықтан (1/3)^x≤(1/3)^2 шарты x≥2 береді. Шекарада теңдік орындалады, ал x>2 кезінде кемімелі функцияның мәні одан кіші болады.

Жиі кездесетін қате: A) (2; +∞): ≤ белгісі болса да шекараны алып тастаған.

B) (−∞; 2]: бірден кіші негіздің кемитінін ескермей, белгіні сақтаған.

C) (−∞; 2): салыстыру бағытын сақтап, шекараны да жоғалтқан.

D) Барлық нақты сандар: бірден кіші негіздің кез келген дәрежесі берілген шектен аспайды деп ойлаған; теріс көрсеткіште мән үлкен болады.

Қайта орындауға ишара: Кемімелі функция үшін белгі ауысуын және шекараның қабылдануын бірге тексеріңіз.