Дифференциалдық теңдеулер жайлы негізгі түсініктер

Ереже: Дифференциалдық теңдеудің реті — оған кіретін ең жоғары туындының реті. Сандық коэффициенттің шамасы немесе мүшелер саны теңдеудің ретін өзгертпейді. Шешім болатын функцияны тексеру үшін қажетті туындыларды тауып, теңдеуге қою керек. Туындысы нөл функция берілген аралықта тұрақты. Қалыпты екінші ретті сызықтық теңдеудің жалпы шешімінде екі тәуелсіз еркін тұрақты болады; бастапқы шарттар оларды анықтайды.

Шешу жолы: Берілген теңдеуде y″, y′ және y бар. Ең жоғары туынды y″ — екінші туынды, сондықтан реті 2. y′ алдындағы 4 коэффициенті туынды белгісінің ретін өзгертпейді; оң жақтағы нөл де оған әсер етпейді.

Жиі кездесетін қате: A) 1: теңдеуде y′ барын байқап, жоғары y″ туындысын ескермеген.

B) 3: y″, y′ және y үш мүшесінің санын теңдеу реті деп алған.

D) 4: y′ алдындағы коэффициентті туындының реті деп қабылдаған.

E) 0: оң жақ нөл болғандықтан теңдеудің реті нөл деп ойлаған.

Қайта орындауға ишара: Ең көп штрихы бар туындыны тауып, сол штрихтардың санын санаңыз.

Ереже: Дифференциалдық теңдеудің реті — оған кіретін ең жоғары туындының реті. Сандық коэффициенттің шамасы немесе мүшелер саны теңдеудің ретін өзгертпейді. Шешім болатын функцияны тексеру үшін қажетті туындыларды тауып, теңдеуге қою керек. Туындысы нөл функция берілген аралықта тұрақты. Қалыпты екінші ретті сызықтық теңдеудің жалпы шешімінде екі тәуелсіз еркін тұрақты болады; бастапқы шарттар оларды анықтайды.

Шешу жолы: y=e^(kx) үшін y′=ke^(kx). Теңдеуге қойсақ ke^(kx)=4e^(kx). Көрсеткіштік функция нөл емес болғандықтан k=4. Осы коэффициентпен қайта қойғанда сол және оң жақ бірдей болады.

Жиі кездесетін қате: B) 1: көрсеткіш ішіндегі k көбейткішін туынды алғанда жоғалтқан.

C) 0: e^(kx) тұрақты функция деп қабылдаған.

D) -4: теңдеудің оң жағына негізсіз теріс таңба қойған.

E) 16: бірінші туынды орнына екі рет дифференциалдағандай коэффициентті квадраттаған.

Қайта орындауға ишара: Ұсынылған функцияны дифференциалдап, e^(kx) алдындағы коэффициенттерді салыстырыңыз.

Ереже: Дифференциалдық теңдеудің реті — оған кіретін ең жоғары туындының реті. Сандық коэффициенттің шамасы немесе мүшелер саны теңдеудің ретін өзгертпейді. Шешім болатын функцияны тексеру үшін қажетті туындыларды тауып, теңдеуге қою керек. Туындысы нөл функция берілген аралықта тұрақты. Қалыпты екінші ретті сызықтық теңдеудің жалпы шешімінде екі тәуелсіз еркін тұрақты болады; бастапқы шарттар оларды анықтайды.

Шешу жолы: Ең жоғары туынды y′ — бірінші туынды. Сондықтан y′+4y=0 теңдеуі бірінші ретті. y мүшесі туынды емес, оның коэффициенті 4 ретке әсер етпейді; екінші туынды бұл теңдеуде кездеспейді.

Жиі кездесетін қате: A) 0: теңдеу біртекті болғанын туынды жоқ дегенмен шатастырған.

B) 2: y′ және y екі мүшесінің санын теңдеудің реті деп алған.

C) 4: y алдындағы сандық коэффициентті рет ретінде таңдаған.

D) 5: коэффициентке бір қосып, теңдеу ретін сандық мүшелерден есептеген.

Қайта орындауға ишара: Теңдеудегі коэффициенттерді емес, ең жоғары туынды белгісін қараңыз.

Ереже: Дифференциалдық теңдеудің реті — оған кіретін ең жоғары туындының реті. Сандық коэффициенттің шамасы немесе мүшелер саны теңдеудің ретін өзгертпейді. Шешім болатын функцияны тексеру үшін қажетті туындыларды тауып, теңдеуге қою керек. Туындысы нөл функция берілген аралықта тұрақты. Қалыпты екінші ретті сызықтық теңдеудің жалпы шешімінде екі тәуелсіз еркін тұрақты болады; бастапқы шарттар оларды анықтайды.

Шешу жолы: y′=0 болғандықтан y тұрақты. Бастапқы шарт y(0)=4 осы тұрақтыны бекітеді: y(x)=4 бүкіл аралықта. Сондықтан y(5)=4; жаңа аргумент функция мәнін өзгертпейді.

Жиі кездесетін қате: B) 0: туындының нөлдік мәнін функцияның нөлдік мәні деп алған.

C) 9: тұрақты функцияны y=x+4 сызықтық функциясымен шатастырған.

D) 20: тұрақты 4 мәнін сұралған аргументке көбейткен; бұл тұрақты емес, сызықтық функция береді.

E) 1: туынды нөл болса, тұрақты тек бір болуы мүмкін деп ойлаған.

Қайта орындауға ишара: Нөлдік туынды қандай функцияға сәйкес келетінін анықтап, бастапқы шартты қолданыңыз.

Ереже: Дифференциалдық теңдеудің реті — оған кіретін ең жоғары туындының реті. Сандық коэффициенттің шамасы немесе мүшелер саны теңдеудің ретін өзгертпейді. Шешім болатын функцияны тексеру үшін қажетті туындыларды тауып, теңдеуге қою керек. Туындысы нөл функция берілген аралықта тұрақты. Қалыпты екінші ретті сызықтық теңдеудің жалпы шешімінде екі тәуелсіз еркін тұрақты болады; бастапқы шарттар оларды анықтайды.

Шешу жолы: y″+4y=0 — екінші ретті сызықтық біртекті теңдеу. Оның жалпы шешімі y=C₁cos(√4x)+C₂sin(√4x), мұнда C₁ және C₂ тәуелсіз. Сондықтан еркін тұрақтылар саны 2; берілген 4 коэффициенті еркін тұрақты емес.

Жиі кездесетін қате: A) 0: теңдеу біртекті болғандықтан еркін тұрақтылар жоқ деп ойлаған.

C) 1: екінші ретті теңдеуді бірінші ретті теңдеумен шатастырған.

D) 3: y″, 4 және 0 жазбаларын үш тұрақты деп санаған.

E) 4: берілген коэффициентті шешімдегі еркін тұрақтылардың саны деп қабылдаған.

Қайта орындауға ишара: Теңдеудің ретін анықтаңыз; берілген коэффициент пен еркін тұрақтыны ажыратыңыз.