Логарифмдік теңдеулер және олардың жүйелері

Ереже: Логарифмдік теңдеуді шешкенде алдымен әр аргументтің қатаң оң болуын тексереміз. log_a u=c теңдігі u=a^c теңдігімен мәндес, мұнда a>0 және a≠1. Бірдей негіздегі екі логарифм тең болса, олардың оң аргументтері тең. Табылған кандидат бастапқы өрнектің облысына кірмесе, шешім болмайды. Жүйеде логарифмдік теңдеуден табылған мәнді екінші теңдеуге қойып, қалған белгісізді анықтаймыз.

Шешу жолы: Облыс x>4. Логарифм анықтамасынан x−4=3^2=9; осыдан x=13. Тексеру: x−4=9>0 және оның 3 негізіндегі логарифмі 2.

Жиі кездесетін қате: B) 9: логарифм аргументінің x−4 мәнін x деп алған; ығысуды қосу керек.

C) 5: ығысуды екінші жаққа қате таңбамен көшірген.

D) 10: логарифм анықтамасында негізді дәрежеге шығарудың орнына көрсеткішке көбейткен.

E) -5: оң аргументті теріс етіп, x-ті облыстан тыс алған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен логарифмді дәрежелік теңдікке айналдырып, ығысуды қалпына келтіріңіз.

Ереже: Логарифмдік теңдеуді шешкенде алдымен әр аргументтің қатаң оң болуын тексереміз. log_a u=c теңдігі u=a^c теңдігімен мәндес, мұнда a>0 және a≠1. Бірдей негіздегі екі логарифм тең болса, олардың оң аргументтері тең. Табылған кандидат бастапқы өрнектің облысына кірмесе, шешім болмайды. Жүйеде логарифмдік теңдеуден табылған мәнді екінші теңдеуге қойып, қалған белгісізді анықтаймыз.

Шешу жолы: Облыс x>0. Сол жақ 2log_3x, сондықтан log_3x=2. Осыдан x=3^2=9. Қою арқылы әр логарифм 2 болып, қосынды 4 екені тексеріледі.

Жиі кездесетін қате: A) 81: екі бірдей логарифмді біріктіргенде 2 коэффициентіне бөлмеген.

B) 2: log_3x мәнін x деп берген.

C) 3: көрсеткішті біріктіру кезінде негізсіз бірге кеміткен.

E) 1/9: оң 2 көрсеткішіне теріс таңба қойған.

Қайта орындауға ишара: Бірдей екі логарифмді коэффициент арқылы біріктіріңіз.

Ереже: Логарифмдік теңдеуді шешкенде алдымен әр аргументтің қатаң оң болуын тексереміз. log_a u=c теңдігі u=a^c теңдігімен мәндес, мұнда a>0 және a≠1. Бірдей негіздегі екі логарифм тең болса, олардың оң аргументтері тең. Табылған кандидат бастапқы өрнектің облысына кірмесе, шешім болмайды. Жүйеде логарифмдік теңдеуден табылған мәнді екінші теңдеуге қойып, қалған белгісізді анықтаймыз.

Шешу жолы: Облыс x>4. Бір негіздегі логарифмдер тең болғандықтан x−4=2. Демек x=6. Бұл мән облыста жатады, екі аргумент те 2>0 болғандықтан бастапқы логарифмдер анықталған және тең.

Жиі кездесетін қате: A) -2: x−4=2 теңдеуінде ығысу таңбасын қате ауыстырған.

B) 2: оң аргументтің мәнін x деп алған.

C) 5: логарифмдерді нөлге тең деп алып, аргумент 1 деген басқа теңдеуді шешкен.

D) 13: оң жақтағы log_3(2) орнына 2 тұрақтысын қойып, негізді квадраттаған.

Қайта орындауға ишара: Бір негіздегі тең логарифмдердің оң аргументтерін теңестіріңіз.

Ереже: Логарифмдік теңдеуді шешкенде алдымен әр аргументтің қатаң оң болуын тексереміз. log_a u=c теңдігі u=a^c теңдігімен мәндес, мұнда a>0 және a≠1. Бірдей негіздегі екі логарифм тең болса, олардың оң аргументтері тең. Табылған кандидат бастапқы өрнектің облысына кірмесе, шешім болмайды. Жүйеде логарифмдік теңдеуден табылған мәнді екінші теңдеуге қойып, қалған белгісізді анықтаймыз.

Шешу жолы: log_3x=2 теңдігінен x=9>0. Екінші теңдеуде x+y=13, сондықтан y=13−9=4. Тексеру: екі теңдеу де табылған x және y мәндерінде орындалады.

Жиі кездесетін қате: B) 9: логарифмдік теңдеуден табылған x мәнін y орнына берген.

C) 13: x+y қосындысын y мәні деп алған.

D) -4: y үшін азайту ретін кері ауыстырған.

E) 22: қосындыдан x-ті шегеру орнына оны қосқан.

Қайта орындауға ишара: Логарифмдік теңдеуден x табылып болған соң екінші теңдеудегі қосындыны пайдаланыңыз.

Ереже: Логарифмдік теңдеуді шешкенде алдымен әр аргументтің қатаң оң болуын тексереміз. log_a u=c теңдігі u=a^c теңдігімен мәндес, мұнда a>0 және a≠1. Бірдей негіздегі екі логарифм тең болса, олардың оң аргументтері тең. Табылған кандидат бастапқы өрнектің облысына кірмесе, шешім болмайды. Жүйеде логарифмдік теңдеуден табылған мәнді екінші теңдеуге қойып, қалған белгісізді анықтаймыз.

Шешу жолы: Аргумент −x>0, сондықтан x<0. Анықтамадан −x=3^2=9, осыдан x=−9. Қайта қойсақ −x=9>0, оның 3 негізіндегі логарифмі 2.

Жиі кездесетін қате: A) 9: −x аргументіндегі теріс таңбаны x-ке көшіргенде жоғалтқан.

B) -2: логарифм мәнін аргументке теңестірген.

C) -3: негіздің өзін аргумент деп алған.

D) -1/9: оң көрсеткіштің орнына теріс көрсеткіш алып, кері аргумент шығарған.

Қайта орындауға ишара: Логарифмнің ішіндегі −x өрнегін толық аргумент деп қарастырыңыз.