Логарифмдік теңсіздіктер

Ереже: Логарифмдік теңсіздікте әр аргументтің қатаң оң болу шарты алдымен жазылады. Негіз бірден үлкен болса, логарифмдерді алып тастағанда салыстыру белгісі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Алынған теңсіздік шешімін анықталу облысымен қиылыстыру қажет. Теңдік нүктесі қатаң емес салыстыруда ғана қабылданады, бірақ аргумент нөл болатын шекара ешқашан кірмейді.

Шешу жолы: Облыс x>0. log_3x>2=log_3(9), негіз 3>1. Сондықтан x>9. Бұл шарт облысты өзі қамтиды, шекарада логарифм 2-ге тең болғандықтан нүкте кірмейді.

Жиі кездесетін қате: A) [9; +∞): қатаң > шартына теңдік нүктесін енгізген.

B) (0; 9): бірден үлкен негіз болса да бағытын кері алған.

D) (−∞; 9): салыстыру бағытын кері алған және теріс аргументтерді енгізген.

E) (0; +∞): тек анықталу облысын алған; логарифмнің берілген шектен үлкен болуы орындалмай қалды.

Қайта орындауға ишара: Берілген тұрақтыны сол негіздегі логарифм түріне келтіріңіз.

Ереже: Логарифмдік теңсіздікте әр аргументтің қатаң оң болу шарты алдымен жазылады. Негіз бірден үлкен болса, логарифмдерді алып тастағанда салыстыру белгісі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Алынған теңсіздік шешімін анықталу облысымен қиылыстыру қажет. Теңдік нүктесі қатаң емес салыстыруда ғана қабылданады, бірақ аргумент нөл болатын шекара ешқашан кірмейді.

Шешу жолы: Облыс x>0. (1/3)^(−2)=9, сондықтан log_(1/3)x>log_(1/3)(9). Негіз бірден кіші болғандықтан x<9. Облыспен қиылысу 0<x<9; екі шекара да кірмейді.

Жиі кездесетін қате: B) (−∞; 9): логарифмнің x>0 облысын ескермеген.

C) (0; 9]: қатаң > шартында теңдік шекарасын енгізген.

D) (9; +∞): бірден кіші негіз болса да белгіні ауыстырмаған.

E) [9; +∞): белгіні ауыстырмаған және теңдік шекарасын қабылдаған.

Қайта орындауға ишара: Бірден кіші негіздегі логарифм кемиді; оң аргумент шартын бөлек сақтаңыз.

Ереже: Логарифмдік теңсіздікте әр аргументтің қатаң оң болу шарты алдымен жазылады. Негіз бірден үлкен болса, логарифмдерді алып тастағанда салыстыру белгісі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Алынған теңсіздік шешімін анықталу облысымен қиылыстыру қажет. Теңдік нүктесі қатаң емес салыстыруда ғана қабылданады, бірақ аргумент нөл болатын шекара ешқашан кірмейді.

Шешу жолы: Облыс x−4>0, яғни x>4. 0=log_31, негіз 3>1 болғандықтан x−4≤1, демек x≤5. Қиылысу 4<x≤5; жоғарғы шекарада аргумент 1 және логарифм 0.

Жиі кездесетін қате: A) [4; 5]: x=4 кезінде аргумент нөл болып, логарифм анықталмайтынын ескермеген.

B) (4; 5): қатаң емес ≤ белгісіндегі жоғарғы шекараны шығарған.

C) (−∞; 5]: жоғарғы шекті тапқанмен, аргументтің оңдық шартын жоғалтқан.

D) [5; +∞): бірден үлкен негіз үшін салыстыру бағытын кері алған.

Қайта орындауға ишара: Төменгі шекараны облыстан, жоғарғы шекараны теңсіздіктен табыңыз.

Ереже: Логарифмдік теңсіздікте әр аргументтің қатаң оң болу шарты алдымен жазылады. Негіз бірден үлкен болса, логарифмдерді алып тастағанда салыстыру белгісі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Алынған теңсіздік шешімін анықталу облысымен қиылыстыру қажет. Теңдік нүктесі қатаң емес салыстыруда ғана қабылданады, бірақ аргумент нөл болатын шекара ешқашан кірмейді.

Шешу жолы: Облыс x>0. log_3x≥0=log_31 болғандықтан x≥1. x=1 қабылданады, оның логарифмі 0. 0<x<1 кезінде логарифм теріс, сондықтан облыстың бұл бөлігі шешімге кірмейді.

Жиі кездесетін қате: B) (1; +∞): ≥ белгісінде логарифм нөл болатын x=1 шекарасын шығарған.

C) (0; 1]: бірден үлкен негіз үшін салыстыру бағытын кері алған.

D) (−∞; 1]: бағытты кері алған және нөл мен теріс аргументтерді енгізген.

E) (0; +∞): тек облысты алған; x<1 кезінде логарифм теріс болады.

Қайта орындауға ишара: Логарифм нөлге тең болатын аргументті тауып, өсу бағытын пайдаланыңыз.

Ереже: Логарифмдік теңсіздікте әр аргументтің қатаң оң болу шарты алдымен жазылады. Негіз бірден үлкен болса, логарифмдерді алып тастағанда салыстыру белгісі сақталады; негіз нөл мен бір арасында болса, белгі кері өзгереді. Алынған теңсіздік шешімін анықталу облысымен қиылыстыру қажет. Теңдік нүктесі қатаң емес салыстыруда ғана қабылданады, бірақ аргумент нөл болатын шекара ешқашан кірмейді.

Шешу жолы: Облыс x>0. log_(1/3)x≤0=log_(1/3)1; негіз бірден кіші болғандықтан x≥1. Шекара қабылданады, ал x>1 кезінде логарифм теріс. Сондықтан жауап [1; +∞).

Жиі кездесетін қате: A) (1; +∞): қатаң емес ≤ белгісіндегі теңдік нүктесін шығарған.

C) (0; 1]: бірден кіші негіздің кемитінін ескермей салыстыру бағытын сақтаған.

D) (−∞; 1]: бағытты қате сақтаған және анықталмаған аргументтерді енгізген.

E) (0; +∞): тек облысты алған; x<1 үшін бұл негіздегі логарифм оң.

Қайта орындауға ишара: Негіз бірден кіші болғанда салыстыру белгісінің кері өзгеретінін ескеріңіз.