y′=4y теңдеуінің жалпы шешімін таңдаңыз.

Ереже: Айнымалылары ажыратылатын теңдеуде y′=f(x)g(y) түрін пайдаланып, айнымалыларды бөлек жақтарға жинап интегралдаймыз. y-ке бөлер алдында тұрақты нөлдік шешімнің бар-жоғын тексереміз. y′=ky үшін жалпы шешім y=Ce^(kx), C кез келген нақты сан; ол нөлдік шешімді де қамтиды. Бастапқы шарт еркін тұрақтыны бекітеді. Ал y′ тек x-ке тәуелді болса, оның алғашқы функциясын тауып, шартты соған қоямыз.

Шешу жолы: Ұсынылған y=Ce^(4x) функциясын тексерсек y′=4Ce^(4x)=4y. C кез келген нақты сан, оның C=0 мәні y=0 шешімін де береді. Бастапқы шарт жоқ болғандықтан C бекітілмейді.

Жиі кездесетін қате: B) y=Ce^(−4x): туындыдағы коэффициент −4 болады, берілген теңдеудегі таңбаға қайшы.

C) y=C+4x: туынды тұрақты, ал оң жақ функцияның өзіне тәуелді; жалпы шешім емес.

D) y=Cx^4: дәрежелік функция туындысы оған тұрақты 4 коэффициентпен пропорционал болмайды.

E) y=Csin(4x): туынды косинус береді, ол бастапқы синусқа барлық x үшін тең емес.

Қайта орындауға ишара: Жауаптағы әр функцияның туындысын оның өзімен салыстырыңыз.