Логарифмдік функцияның туындысы

Ереже: x>0 болғанда (ln x)′=1/x. Күрделі логарифм үшін (ln u(x))′=u′(x)/u(x), мұнда u(x)>0. Негізі a болатын логарифмнің туындысы 1/(x ln a), a>0 және a≠1. Функция алдындағы тұрақты көбейткіш туындыда сақталады. Нүктедегі туындыны табу үшін алдымен жалпы формуланы шығарып, содан кейін ғана аргумент мәнін қою қажет.

Шешу жолы: f′(x)=4/x. x=1 қойсақ f′(1)=4/1=4. ln 1=0 болғанымен, осы нүктедегі графиктің өзгеру жылдамдығы нөл емес. Алдымен жалпы туындыны табамыз.

Жиі кездесетін қате: A) 1: ln x алдындағы тұрақты көбейткішті жоғалтқан.

B) 0: ln 1=0 функция мәнін туынды мәнімен шатастырған.

C) -4: 1/x туындысына негізсіз теріс таңба қойған.

D) 16: тұрақты коэффициентті екі рет көбейткен.

Қайта орындауға ишара: ln x туындысынан соң берілген тұрақты көбейткішті сақтаңыз.

Ереже: x>0 болғанда (ln x)′=1/x. Күрделі логарифм үшін (ln u(x))′=u′(x)/u(x), мұнда u(x)>0. Негізі a болатын логарифмнің туындысы 1/(x ln a), a>0 және a≠1. Функция алдындағы тұрақты көбейткіш туындыда сақталады. Нүктедегі туындыны табу үшін алдымен жалпы формуланы шығарып, содан кейін ғана аргумент мәнін қою қажет.

Шешу жолы: f′(x)=4/x. Берілген x=4>0 нүктесінде f′(4)=4/4=1. Бірдей алым мен бөлім қысқарады; бұл функцияның өзін емес, туындының нүктелік мәнін есептеу.

Жиі кездесетін қате: A) 4: x=4 аргументіне бөлуді орындамаған.

C) 0: аргумент пен коэффициенттің теңдігін туынды нөлге тең деп қате түсінген.

D) 1/4: алымдағы 4 коэффициентін жоғалтқан.

E) -1: бөліндіге негізсіз теріс таңба берген.

Қайта орындауға ишара: Жалпы туындыдағы x орнына берілген аргументті қойыңыз.

Ереже: x>0 болғанда (ln x)′=1/x. Күрделі логарифм үшін (ln u(x))′=u′(x)/u(x), мұнда u(x)>0. Негізі a болатын логарифмнің туындысы 1/(x ln a), a>0 және a≠1. Функция алдындағы тұрақты көбейткіш туындыда сақталады. Нүктедегі туындыны табу үшін алдымен жалпы формуланы шығарып, содан кейін ғана аргумент мәнін қою қажет.

Шешу жолы: f′(x)=4/x. Сондықтан f′(5)=4/(5)=4/5. Нүкте оң, бөлім нөл емес. Нәтиже оң және бірден кіші: алым 4, бөлім 5.

Жиі кездесетін қате: A) 1/5: функция алдындағы 4 коэффициентін жоғалтқан.

B) 4: туындыны нүктеде есептегенде аргументке бөлмеген.

C) -4/5: ln x туындысы оң облыста теріс емес болса да таңбаны ауыстырған.

D) 5/4: алым мен бөлімді ауыстырып, кері бөлшек алған.

Қайта орындауға ишара: Жалпы туындыны шығарып, бөлімдегі x-ке қажетті нүктені қойыңыз.

Ереже: x>0 болғанда (ln x)′=1/x. Күрделі логарифм үшін (ln u(x))′=u′(x)/u(x), мұнда u(x)>0. Негізі a болатын логарифмнің туындысы 1/(x ln a), a>0 және a≠1. Функция алдындағы тұрақты көбейткіш туындыда сақталады. Нүктедегі туындыны табу үшін алдымен жалпы формуланы шығарып, содан кейін ғана аргумент мәнін қою қажет.

Шешу жолы: f′(x)=(4x)′/(4x)=4/(4x)=1/x. Сондықтан f′(1)=1. ln(4x)=ln 4+ln x деп жазсақ та, ln 4 тұрақтысының туындысы нөл болып, осы нәтиже шығады.

Жиі кездесетін қате: A) 4: ішкі функция туындысын алғанмен, бөлімдегі 4x өрнегін x деп қате алған.

C) 1/4: ішкі функция туындысын жоғалтып, тек 1/(4x) алған.

D) 0: алдымен x=1 қойып, ln 4 тұрақтысынан туынды алған.

E) -1: оң ішкі туындыға негізсіз теріс таңба енгізген.

Қайта орындауға ишара: Күрделі логарифмде ішкі функцияның туындысын оның өзіне бөліңіз.

Ереже: x>0 болғанда (ln x)′=1/x. Күрделі логарифм үшін (ln u(x))′=u′(x)/u(x), мұнда u(x)>0. Негізі a болатын логарифмнің туындысы 1/(x ln a), a>0 және a≠1. Функция алдындағы тұрақты көбейткіш туындыда сақталады. Нүктедегі туындыны табу үшін алдымен жалпы формуланы шығарып, содан кейін ғана аргумент мәнін қою қажет.

Шешу жолы: Негіз 4>1 және x>0. Негізді ауыстыру арқылы log_4x=ln x/ln 4; бөлім тұрақты. Сондықтан туынды (1/x)/ln 4=1/(x ln 4). Оның оң болуы функцияның өсуімен сәйкес келеді.

Жиі кездесетін қате: B) 4/x: логарифм негізін тұрақты көбейткіш ретінде алған.

C) 1/x: натурал логарифмнің туындысын басқа негізге қолданған.

D) x ln 4: туынды формуласындағы бөлшекті кері айналдырған.

E) ln 4/x: ln 4 көбейткішін бөлімнен алымға қате ауыстырған.

Қайта орындауға ишара: Негізді ауыстыру формуласын қолданып, ln a тұрақты екенін ескеріңіз.