Көрсеткіштік функцияның туындысы және интегралы

Ереже: Натурал көрсеткіштік функцияның туындысы (e^x)′=e^x. Күрделі функция үшін (e^(u(x)))′=u′(x)e^(u(x)); ішкі функция туындысы міндетті көбейткіш болады. Басқа негізде (a^x)′=a^x ln a, мұнда a>0 және a≠1. Тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Алғашқы функцияны тексерудің жолы — оны дифференциалдап, бастапқы функциямен салыстыру.

Шешу жолы: f′(x)=4e^(4x). x=0 қойсақ e^0=1, сондықтан f′(0)=4. Алдымен дифференциалдап, содан кейін нүктені қою қажет; f(0)=1 функция мәні туындыға тең емес.

Жиі кездесетін қате: A) 1: ішкі 4x өрнегінің туындысын жоғалтқан.

B) 0: алдымен x=0 қойып, шыққан 1 тұрақтысынан туынды алған.

C) 16: ішкі функцияның коэффициентін екі рет көбейткен.

E) -4: оң көрсеткішке негізсіз теріс таңба қосқан.

Қайта орындауға ишара: Көрсеткіш ішіндегі сызықтық функцияның туындысын көбейткіш етіп алыңыз.

Ереже: Натурал көрсеткіштік функцияның туындысы (e^x)′=e^x. Күрделі функция үшін (e^(u(x)))′=u′(x)e^(u(x)); ішкі функция туындысы міндетті көбейткіш болады. Басқа негізде (a^x)′=a^x ln a, мұнда a>0 және a≠1. Тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Алғашқы функцияны тексерудің жолы — оны дифференциалдап, бастапқы функциямен салыстыру.

Шешу жолы: F′(x)=(4e^(4x))/4=e^(4x). Сондықтан F′(0)=e^0=1. Алымнан пайда болған 4 коэффициенті бөлімдегі 4-пен қысқарады; бөлім тұрақты болса да оны тастауға болмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 1/4: алымдағы күрделі функция туындысынан 4 көбейткішін алмаған.

C) 4: бөлімдегі 4 тұрақтысын жоғалтқан.

D) 0: нүктені туындыға дейін қойып, тұрақтыдан туынды алған.

E) -1: оң коэффициенттердің қысқаруына негізсіз теріс таңба қосқан.

Қайта орындауға ишара: Тұрақты бөлімді сақтап, алымдағы күрделі көрсеткіштік функциядан туынды алыңыз.

Ереже: Натурал көрсеткіштік функцияның туындысы (e^x)′=e^x. Күрделі функция үшін (e^(u(x)))′=u′(x)e^(u(x)); ішкі функция туындысы міндетті көбейткіш болады. Басқа негізде (a^x)′=a^x ln a, мұнда a>0 және a≠1. Тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Алғашқы функцияны тексерудің жолы — оны дифференциалдап, бастапқы функциямен салыстыру.

Шешу жолы: Негіз 4 тұрақты, айнымалы көрсеткіште. Формула бойынша f′(x)=4^x ln 4. ln 4>0 болғандықтан туынды әр нақты x үшін оң; бұл функцияның өсу қасиетімен де келіседі.

Жиі кездесетін қате: A) 4^x: e негізіне арналған формуланы басқа негізге қолданған; ln 4 көбейткіші қажет.

C) 4^x/ln 4: туындыны алғашқы функция формуласымен шатастырған.

D) x·4^x: көбейтінді ережесін орынсыз қолданған; алдында x көбейткіші жоқ.

E) 4x^(3): айнымалы негізі бар x дәрежелік функциясының туындысын алған.

Қайта орындауға ишара: a^x пен x^a өрнектерінде айнымалының орны әртүрлі екенін тексеріңіз.

Ереже: Натурал көрсеткіштік функцияның туындысы (e^x)′=e^x. Күрделі функция үшін (e^(u(x)))′=u′(x)e^(u(x)); ішкі функция туындысы міндетті көбейткіш болады. Басқа негізде (a^x)′=a^x ln a, мұнда a>0 және a≠1. Тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Алғашқы функцияны тексерудің жолы — оны дифференциалдап, бастапқы функциямен салыстыру.

Шешу жолы: F′(x)=C e^x. Алғашқы функция шарты бойынша C e^x=4e^x болуы керек. e^x ешқашан нөл емес, сондықтан екі жақты оған бөліп C=4 аламыз. Мұндағы C — e^x алдындағы коэффициент.

Жиі кездесетін қате: A) 0: барлық C таңбасын интегралдау тұрақтысы деп алып, мұндағы коэффициент рөлін ескермеген.

B) 1: e^x туындысын алғанмен, алдында ізделетін көбейткішті салыстырмаған.

C) -4: көрсеткіштік функцияны дифференциалдағанда негізсіз таңба ауыстырған.

D) 4e^x: коэффициент орнына бастапқы функцияның өзін жауап еткен.

Қайта орындауға ишара: Берілген F функциясын дифференциалдап, e^x алдындағы коэффициенттерді салыстырыңыз.

Ереже: Натурал көрсеткіштік функцияның туындысы (e^x)′=e^x. Күрделі функция үшін (e^(u(x)))′=u′(x)e^(u(x)); ішкі функция туындысы міндетті көбейткіш болады. Басқа негізде (a^x)′=a^x ln a, мұнда a>0 және a≠1. Тұрақты көбейткіш сақталады, қосылған тұрақтының туындысы нөл. Алғашқы функцияны тексерудің жолы — оны дифференциалдап, бастапқы функциямен салыстыру.

Шешу жолы: f′(x)=4e^x+0, себебі 2 тұрақтысының туындысы нөл. Сондықтан f′(0)=4e^0=4. f(0)=6 — функция мәні, ол сұралған туындының мәнін алмастырмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 6: қосылған 2 тұрақтысының туындысын 2 деп сақтаған.

B) 1: функция алдындағы 4 көбейткішін түсірген.

C) 0: алдымен x=0 қойып, дайын саннан туынды алған.

D) 8: e^x туындысына негізсіз 2 көбейткішін енгізген.

Қайта орындауға ишара: Қосылған тұрақты мен функция алдындағы көбейткіш туындыда әртүрлі әрекет ететінін еске түсіріңіз.