Иррационал теңдеулер және олардың жүйелері

Ереже: Квадрат түбірі бар теңдеуді шешкенде түбір астындағы өрнектің теріс еместігін және оқшауланған түбірге тең оң жақтың таңбасын тексереміз. Екі жақты квадраттау бөгде түбірлер тудыруы мүмкін, сондықтан барлық кандидаттар бастапқы теңдеуге қойылады. Тақ дәрежелі түбірді жою үшін екі жақты сол тақ дәрежеге шығарамыз. Жүйеде табылған жұп барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыруы керек.

Шешу жолы: Оң жақ 3>0. Квадраттасақ x−2=9, сондықтан x=11. Тексеру: √(11−2)=√(9)=3. Облыс x≥2, табылған сан оған кіреді.

Жиі кездесетін қате: A) 9: квадраттаудан кейін x−2 өрнегінің мәнін x мәні деп алған; 2 қосылады.

C) 7: x−2=3^2 теңдеуінде −2 мүшесін екінші жаққа қате таңбамен көшірген.

D) 5: түбірді жою үшін екі жақты квадраттамай, тек 2 тұрақтысын қосқан.

E) -11: оң түбір мәнінен негізсіз теріс x кандидатын жасаған; бастапқы теңдік орындалмайды.

Қайта орындауға ишара: Жүйе берілсе, y мәнін алдымен қойыңыз; түбірді оқшаулап квадраттаңыз және x мәнін бастапқы теңдеуде тексеріңіз.

Ереже: Квадрат түбірі бар теңдеуді шешкенде түбір астындағы өрнектің теріс еместігін және оқшауланған түбірге тең оң жақтың таңбасын тексереміз. Екі жақты квадраттау бөгде түбірлер тудыруы мүмкін, сондықтан барлық кандидаттар бастапқы теңдеуге қойылады. Тақ дәрежелі түбірді жою үшін екі жақты сол тақ дәрежеге шығарамыз. Жүйеде табылған жұп барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыруы керек.

Шешу жолы: x−3≥0 шарты x≥3 береді. Түбір облысы x≥−3, бірақ екі шарттың қиылысуы x≥3. Бұл — теңдеудің толық шешімі емес, шешу кезінде міндетті сақталатын шарт.

Жиі кездесетін қате: A) -3: түбір астындағы облыстың шекарасын ғана алған; оң жақтың теріс емес шарты күштірек.

C) 0: квадрат түбірдің мәні теріс емес екенін аргументке тікелей қолданған; оң жақ x−3 болады.

D) 9: оң жақтың таңба шартын шешудің орнына 3 тұрақтысын квадраттаған.

E) Ең кіші мән жоқ, x>3: теңдік жағдайын шығарған; x=3 кезінде оң жақ нөл болып, таңба шарты орындалады.

Қайта орындауға ишара: Оң жақ x−3 өрнегін нөлден үлкен немесе тең етіп жазыңыз; бұл тек қажетті шарт екенін ескеріңіз.

Ереже: Квадрат түбірі бар теңдеуді шешкенде түбір астындағы өрнектің теріс еместігін және оқшауланған түбірге тең оң жақтың таңбасын тексереміз. Екі жақты квадраттау бөгде түбірлер тудыруы мүмкін, сондықтан барлық кандидаттар бастапқы теңдеуге қойылады. Тақ дәрежелі түбірді жою үшін екі жақты сол тақ дәрежеге шығарамыз. Жүйеде табылған жұп барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыруы керек.

Шешу жолы: Сол жақ анықталған барлық x үшін √(x+3)≥0, ал оң жақ −2<0. Сондықтан теңдік орындалмайды, түбірлер саны 0. Квадраттаудан шыққан кандидат бастапқы теңдеуге сай келмес еді.

Жиі кездесетін қате: A) 1: екі жақты квадраттап x+3=4 кандидатымен тоқтаған; бастапқы оң жақ −2 болғанын тексермеген.

B) 2: квадрат түбірдегі ± белгісін теңдеудің сол жағына қате енгізген; арифметикалық түбір теріс емес.

C) 3: түбір астындағы ығысуды түбірлер санымен шатастырған; таңба қайшылығы ешбір шешім қалдырмайды.

E) Шексіз көп: анықталу облысының барлық нүктесін шешім деп қабылдаған; облыс пен теңдіктің орындалуы бөлек.

Қайта орындауға ишара: Квадраттамай тұрып, сол жақ пен оң жақтың мүмкін таңбаларын салыстырыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі бар теңдеуді шешкенде түбір астындағы өрнектің теріс еместігін және оқшауланған түбірге тең оң жақтың таңбасын тексереміз. Екі жақты квадраттау бөгде түбірлер тудыруы мүмкін, сондықтан барлық кандидаттар бастапқы теңдеуге қойылады. Тақ дәрежелі түбірді жою үшін екі жақты сол тақ дәрежеге шығарамыз. Жүйеде табылған жұп барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыруы керек.

Шешу жолы: Екі жақты кубтаймыз: x+1=27. Сондықтан x=26. Қойып тексерсек ∛(27)=3; тақ түбір үшін квадрат түбірдегідей теріс емес оң жақ шарты қажет емес.

Жиі кездесетін қате: A) 27: кубтаудан кейін x+1 мәнін x деп қабылдаған; бірді шегеру керек.

B) 28: x+1=3^3 теңдеуінде бірді қате бағытта көшірген.

C) 8: куб түбірді квадрат түбір сияқты жойып, екінші дәрежеге шығарған.

E) 2: куб түбір алу белгісін жай ғана алып тастаған; екі жақты кубтау қажет.

Қайта орындауға ишара: Куб түбірді жою үшін екі жақты үшінші дәрежеге шығарып, x-ті жеке қалдырыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі бар теңдеуді шешкенде түбір астындағы өрнектің теріс еместігін және оқшауланған түбірге тең оң жақтың таңбасын тексереміз. Екі жақты квадраттау бөгде түбірлер тудыруы мүмкін, сондықтан барлық кандидаттар бастапқы теңдеуге қойылады. Тақ дәрежелі түбірді жою үшін екі жақты сол тақ дәрежеге шығарамыз. Жүйеде табылған жұп барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыруы керек.

Шешу жолы: Бастапқы сол жақ теріс емес, сондықтан x≥0. Бұл шарт x+3≥0 облысын да қамтамасыз етеді. Квадрат теңдеудің теріс кандидаты болса, ол бастапқы теңдеуге түбір бола алмайды.

Жиі кездесетін қате: A) -3: түбір астындағы облысты ғана алған; теңдікке байланысты оң жақ x те теріс емес болуы керек.

B) 1: нөл шекарасын негізсіз шығарып, тек оң бүтін кандидаттар болады деп қабылдаған.

D) -1: квадраттаудан кейін пайда болған теріс мәндерді таңба тексерусіз рұқсат еткен.

E) 3: түбір астындағы тұрақтыны аргументтің төменгі шекарасы деп қате қабылдаған.

Қайта орындауға ишара: Оқшауланған түбір x-ке тең болса, арифметикалық түбірдің таңбасы x үшін қандай шарт беретінін жазыңыз.