Нақты көрсеткішті дәрежелік функцияның туындысы мен интегралы

Ереже: Функцияның туындысы оның аргумент өзгергендегі өзгеру қарқынын сипаттайды. Дәрежелік мүшенің туындысы (ax^n)′=anx^(n−1), тұрақтының туындысы нөлге тең. Қосындыны мүшелеп дифференциалдаймыз. Нүктедегі туындыны есептеу үшін алдымен функцияның жалпы туындысын табып, содан кейін ғана берілген аргументті қоямыз. Функцияның мәні мен туындысының мәні әртүрлі шамалар.

Шешу жолы: f′(x)=3x^2. x=1 кезінде 1-дің кез келген бүтін дәрежесі 1, сондықтан f′(1)=3. Коэффициент дәреже көрсеткішінен алынады.

Жиі кездесетін қате: A) 1: f(1) функция мәнін есептеген; сұрақ сол нүктедегі туындыны сұрайды.

B) 2: көрсеткішті кеміткенмен, туынды алдындағы 3 коэффициентін 2 санына қате ауыстырған.

C) 9: дәреже көрсеткішін екі рет коэффициентке көбейткен; ол бір рет қана алынады.

E) 0: алдымен x=1 қойып, шыққан тұрақтыдан туынды алған; амалдардың реті керісінше болуы керек.

Қайта орындауға ишара: (x^n)′=nx^(n−1) формуласын жазыңыз; x=1 кезінде дәрежелік көбейткіштің мәнін анықтаңыз.

Ереже: Функцияның туындысы оның аргумент өзгергендегі өзгеру қарқынын сипаттайды. Дәрежелік мүшенің туындысы (ax^n)′=anx^(n−1), тұрақтының туындысы нөлге тең. Қосындыны мүшелеп дифференциалдаймыз. Нүктедегі туындыны есептеу үшін алдымен функцияның жалпы туындысын табып, содан кейін ғана берілген аргументті қоямыз. Функцияның мәні мен туындысының мәні әртүрлі шамалар.

Шешу жолы: f′(x)=3/(2√x). x=1 қойсақ √1=1, f′(1)=3/2. Алдымен туынды алып, тек содан соң нүкте мәнін қою керек.

Жиі кездесетін қате: A) 3: √x туындысындағы 1/2 коэффициентін жоғалтқан.

C) -3/2: түбір көрсеткіші оң бола тұра туындыға негізсіз теріс таңба қосқан.

D) 3/4: 1/2 коэффициентін екі рет қолданған; √x=x^(1/2) бір рет дифференциалданады.

E) 0: аргументті алдымен қойып, функцияның нүктелік мәнін тұрақты деп дифференциалдаған.

Қайта орындауға ишара: √x өрнегін x^(1/2) түрінде жазып, дәрежелік туынды формуласын қолданыңыз.

Ереже: Функцияның туындысы оның аргумент өзгергендегі өзгеру қарқынын сипаттайды. Дәрежелік мүшенің туындысы (ax^n)′=anx^(n−1), тұрақтының туындысы нөлге тең. Қосындыны мүшелеп дифференциалдаймыз. Нүктедегі туындыны есептеу үшін алдымен функцияның жалпы туындысын табып, содан кейін ғана берілген аргументті қоямыз. Функцияның мәні мен туындысының мәні әртүрлі шамалар.

Шешу жолы: f′(x)=−3/x^2. x=1 кезінде f′(1)=−3. Теріс таңба функцияның оң жарты осьте кемитінін де көрсетеді; нөлге бөлу жоқ.

Жиі кездесетін қате: B) 3: x^(−1) туындысындағы −1 коэффициентінің таңбасын жоғалтқан.

C) -3/2: кері функцияны түбір функциясымен шатастырып, негізсіз екіге бөлген.

D) -6: көрсеткішті −1 орнына −2 деп коэффициентке көбейткен.

E) 0: алдымен x=1 қойған, содан кейін шыққан саннан туынды алған; жалпы формула қажет.

Қайта орындауға ишара: 1/x=x^(−1) деп жазыңыз; көрсеткіш коэффициентке көшкенде оның таңбасын сақтаңыз.

Ереже: Функцияның туындысы оның аргумент өзгергендегі өзгеру қарқынын сипаттайды. Дәрежелік мүшенің туындысы (ax^n)′=anx^(n−1), тұрақтының туындысы нөлге тең. Қосындыны мүшелеп дифференциалдаймыз. Нүктедегі туындыны есептеу үшін алдымен функцияның жалпы туындысын табып, содан кейін ғана берілген аргументті қоямыз. Функцияның мәні мен туындысының мәні әртүрлі шамалар.

Шешу жолы: F′(x)=(4)x^3/(4)=x^3. x=1 болса F′(1)=1. Алымдағы туынды коэффициенті бөлімдегі тұрақтыға қысқарады.

Жиі кездесетін қате: A) 1/4: туындыдағы 4 коэффициентінің бөлімдегі 4-пен қысқаратынын ескермеген.

C) 4: бөлімдегі 4 тұрақтысын жоғалтып, тек алымнан туынды алған.

D) 0: берілген нүктені алдымен қойып, дайын тұрақты саннан туынды алған.

E) -1/4: оң бүтін дәреже туындысына негізсіз теріс таңба қосқан.

Қайта орындауға ишара: Тұрақты бөлімді сақтап, алымдағы x дәрежесінен туынды алыңыз; коэффициенттерді қысқартыңыз.

Ереже: Интегралдың сызықтылығы тұрақты көбейткішті сыртқа шығаруға және қосындыны мүшелеп интегралдауға мүмкіндік береді. ∫[a;b]f(x)dx=F(b)−F(a), мұнда F′=f. Алдымен әр мүшенің алғашқы функциясы табылады, кейін жоғарғы және төменгі шектер қойылады. Екі мәннің айырмасы есептелгенде тұрақты C жойылады. Интеграл астындағы функцияның бір нүктедегі мәні бүкіл аралықтың интегралына тең емес.

Шешу жолы: Алғашқы функция 2·3√x. Шектерді қойсақ 2·3(√4−√1)=2·3(2−1)=6. Аралық нөлді қамтымайды, сондықтан бөлім анықталған.

Жиі кездесетін қате: A) 3: 1/√x алғашқы функциясындағы 2 коэффициентін жоғалтқан.

B) 12: төменгі x=1 шектегі алғашқы функция мәнін алып тастамаған.

D) -6: жоғарғы және төменгі шектердің айырмасын кері есептеген.

E) 9: интеграл астындағы функцияны тұрақты 3 деп қабылдаған; √x бөлімінің өзгеруі ескерілмеген.

Қайта орындауға ишара: x^(−1/2) дәрежесін интегралдап, 4 пен 1 шектерінің екеуін де алғашқы функцияға қойыңыз.