Иррационал теңсіздіктер

Ереже: Квадрат түбірі нақты сандарда анықталғанда теріс емес. Оң жақ та теріс емес болса, екі жақты квадраттау салыстыру бағытын сақтайды. Түбір астындағы өрнектің облысы мен квадраттаудан алынған шарттың қиылысуы алынады. Қатаң теңсіздікте теңдік болатын шекара кірмейді, ал қатаң емес теңсіздікте ол кіреді. Нөлмен салыстырғанда алдымен түбірдің таңбасын талдау керек; анықталмаған мәндер шешім болмайды.

Шешу жолы: x−3≥0 және x−3≤9. Екі шартты біріктірсек 3≤x≤12. Шекаралардағы түбір мәндері 0 және 3, екеуі де теңсіздікті қанағаттандырады.

Жиі кездесетін қате: A) [3; +∞): тек түбірдің облысын алған; √(x−3)≤3 шарты жоғарғы шек те береді.

B) (−∞; 12]: квадраттаудан шыққан жоғарғы шекті сақтағанмен, түбірдің x≥3 облысын жоғалтқан.

C) [12; +∞): квадраттаудан кейін салыстыру бағытын өзгерткен; шарт x−3≤9 болады.

D) (3; 12): екі теңдік шекарасын алып тастаған; қатаң емес теңсіздік олардың екеуін де қабылдайды.

Қайта орындауға ишара: Түбірдің облысын жеке жазып, оң жақтың таңбасын тексеріңіз; шекараларда бастапқы салыстыру белгісін қолданыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі нақты сандарда анықталғанда теріс емес. Оң жақ та теріс емес болса, екі жақты квадраттау салыстыру бағытын сақтайды. Түбір астындағы өрнектің облысы мен квадраттаудан алынған шарттың қиылысуы алынады. Қатаң теңсіздікте теңдік болатын шекара кірмейді, ал қатаң емес теңсіздікте ол кіреді. Нөлмен салыстырғанда алдымен түбірдің таңбасын талдау керек; анықталмаған мәндер шешім болмайды.

Шешу жолы: Облыс x≥3. Теріс емес екі жақты квадраттап x<12 аламыз. Қиылысу [3; 12); төменгі шек кіріп, жоғарғы шек кірмейді.

Жиі кездесетін қате: A) [3; 12]: жоғарғы шекарада түбір үшке тең; қатаң <3 шарты бұл нүктені қабылдамайды.

C) (3; 12): төменгі шекараны негізсіз шығарған; x=3 кезінде √0=0<3 орындалады.

D) (−∞; 12): түбірдің x≥3 облысын ескермеген; төменгі мәндерде өрнек нақты емес.

E) (12; +∞): салыстыру бағытын кері алған; үлкен x үшін түбір үштен артық болады.

Қайта орындауға ишара: Түбірдің облысын жеке жазып, оң жақтың таңбасын тексеріңіз; шекараларда бастапқы салыстыру белгісін қолданыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі нақты сандарда анықталғанда теріс емес. Оң жақ та теріс емес болса, екі жақты квадраттау салыстыру бағытын сақтайды. Түбір астындағы өрнектің облысы мен квадраттаудан алынған шарттың қиылысуы алынады. Қатаң теңсіздікте теңдік болатын шекара кірмейді, ал қатаң емес теңсіздікте ол кіреді. Нөлмен салыстырғанда алдымен түбірдің таңбасын талдау керек; анықталмаған мәндер шешім болмайды.

Шешу жолы: Облыс x≥−3. Оң 3 санымен салыстырғанда квадраттау x+3>9, яғни x>6 береді. Бұл шарт облысты өзі қамтамасыз етеді.

Жиі кездесетін қате: A) [6; +∞): теңдік шекарасын енгізген; x=6 кезінде түбір 3-ке тең, одан үлкен емес.

B) [-3; +∞): тек облысты алған; оның барлық нүктесінде түбір 3-тен үлкен болмайды.

C) (−∞; 6): теңсіздік бағытын өзгертіп, кіші мәндерді таңдаған; облыстан тыс нүктелер де қосылып кеткен.

D) (-3; 6): түбір 3-тен кіші болатын бөлікті алған; берілген салыстыру белгісі >.

Қайта орындауға ишара: Түбірдің облысын жеке жазып, оң жақтың таңбасын тексеріңіз; шекараларда бастапқы салыстыру белгісін қолданыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі нақты сандарда анықталғанда теріс емес. Оң жақ та теріс емес болса, екі жақты квадраттау салыстыру бағытын сақтайды. Түбір астындағы өрнектің облысы мен квадраттаудан алынған шарттың қиылысуы алынады. Қатаң теңсіздікте теңдік болатын шекара кірмейді, ал қатаң емес теңсіздікте ол кіреді. Нөлмен салыстырғанда алдымен түбірдің таңбасын талдау керек; анықталмаған мәндер шешім болмайды.

Шешу жолы: Арифметикалық түбір анықталған жерде әрқашан теріс емес. Сондықтан тек x−3≥0 шарты қалады: x≥3, шекарадағы нөл де қабылданады.

Жиі кездесетін қате: B) Барлық нақты сандар: түбірдің таңбасын дұрыс бағалағанмен, оның x≥3 анықталу облысын ескермеген.

C) (3; +∞): x=3 нүктесін шығарған; нөл де теріс емес болғандықтан шешімге кіреді.

D) (−∞; 3]: түбір астындағы x−3 өрнегінің таңба шартын кері шешкен.

E) ∅: нөлге тең немесе одан үлкен мәннің мүмкіндігін жоққа шығарған; арифметикалық түбір дәл осындай мәндер қабылдайды.

Қайта орындауға ишара: Түбірдің облысын жеке жазып, оң жақтың таңбасын тексеріңіз; шекараларда бастапқы салыстыру белгісін қолданыңыз.

Ереже: Квадрат түбірі нақты сандарда анықталғанда теріс емес. Оң жақ та теріс емес болса, екі жақты квадраттау салыстыру бағытын сақтайды. Түбір астындағы өрнектің облысы мен квадраттаудан алынған шарттың қиылысуы алынады. Қатаң теңсіздікте теңдік болатын шекара кірмейді, ал қатаң емес теңсіздікте ол кіреді. Нөлмен салыстырғанда алдымен түбірдің таңбасын талдау керек; анықталмаған мәндер шешім болмайды.

Шешу жолы: x≥3 облысында арифметикалық түбір теріс емес. Ол ешбір нүктеде нөлден кіші болмайды. Облыстан тыс нүктелерде түбір анықталмаған, сондықтан олар да шешім емес.

Жиі кездесетін қате: A) [3; +∞): анықталу облысының бәрін шешім деп алған; бұл облыста түбір теріс емес.

B) (3; +∞): түбір нөлден үлкен болатын нүктелерді таңдаған; сұрақ нөлден кіші мән сұрайды.

D) (−∞; 3): түбір астындағы өрнек теріс болатын нүктелерді алған; онда нақты түбір анықталмаған.

E) Барлық нақты сандар: түбірдің таңбасын да, облысын да ескермеген; теріс арифметикалық квадрат түбір жоқ.

Қайта орындауға ишара: Түбірдің облысын жеке жазып, оң жақтың таңбасын тексеріңіз; шекараларда бастапқы салыстыру белгісін қолданыңыз.