Квадрат теңдеулердің комплекс түбірлері Алгебраның негізгі теоремасы

Ереже: Квадрат теңдеудің дискриминанты D=b^2−4ac. D<0 болса, нақты түбір жоқ, бірақ комплекс сандарда екі түбір бар: z=(−b±i√(−D))/(2a). Екі таңба да ескеріледі. Нақты коэффициентті көпмүшенің нақты емес түбірлері түйіндес жұппен келеді. Виет формулалары комплекс түбірлерге де қолданылады: қосындысы −b/a, көбейтіндісі c/a. Есептің нақты немесе комплекс сандарда шешілетіні ажыратылады.

Шешу жолы: z^2=−9. z=3i қойғанда (3i)^2=−9; −3i де сол квадратты береді. Сондықтан екі комплекс түбір бар, нақты түбір жоқ.

Жиі кездесетін қате: A) Нақты да, комплекс те түбірі жоқ: нақты сандардағы шешімнің жоқтығын комплекс сандарға таратқан; i^2=−1 жаңа түбірлер береді.

B) z=±9i: −9 санынан түбір алғанда 3 орнына 9 коэффициентін қалдырған.

C) z=3i ғана: екінші таңбаны ескермеген; −3i санының квадраты да −9.

D) z=±3: теріс санның квадрат түбірін нақты деп алған; нақты ±3 сандарының квадраты оң.

Қайта орындауға ишара: Квадрат теңдеу болса дискриминант немесе Виет формуласын, ал түйіндес түбір болса нақты коэффициенттер шартын пайдаланыңыз.

Ереже: Квадрат теңдеудің дискриминанты D=b^2−4ac. D<0 болса, нақты түбір жоқ, бірақ комплекс сандарда екі түбір бар: z=(−b±i√(−D))/(2a). Екі таңба да ескеріледі. Нақты коэффициентті көпмүшенің нақты емес түбірлері түйіндес жұппен келеді. Виет формулалары комплекс түбірлерге де қолданылады: қосындысы −b/a, көбейтіндісі c/a. Есептің нақты немесе комплекс сандарда шешілетіні ажыратылады.

Шешу жолы: D=(6)^2−4·10=−4. z=(6±2i)/2=3±i. Виет бойынша қосынды 6, көбейтінді 10, екі шарт та орындалады.

Жиі кездесетін қате: B) z=3±1: теріс дискриминанттың түбірінен i таңбасын жоғалтып, нақты түбірлер алған.

C) Түбірі жоқ: теріс дискриминантта тек нақты түбір болмайтынын комплекс сандардағы шешіммен шатастырған.

D) z=−3±i: формуладағы −b таңбасын қате алған; сызықтық коэффициент −6 болғандықтан, түбірлердің нақты бөлігі 3.

E) z=3±2i: √D=2i мәнін алғанда квадрат теңдеу формуласындағы 2 бөліміне толық бөлмеген.

Қайта орындауға ишара: Квадрат теңдеу болса дискриминант немесе Виет формуласын, ал түйіндес түбір болса нақты коэффициенттер шартын пайдаланыңыз.

Ереже: Алгебраның негізгі теоремасы дәрежесі кемінде бір болатын кез келген комплекс коэффициентті көпмүшенің комплекс түбірі бар екенін айтады. Оның салдары бойынша n дәрежелі көпмүшеде еселіктерін есептегенде дәл n комплекс түбір болады. Әртүрлі түбірлер саны аз болуы мүмкін: бір түбір бірнеше рет қайталана алады. Теорема барлық түбірдің нақты болуы немесе әрқайсысының бөлек болуы туралы тұжырым жасамайды.

Шешу жолы: Көпмүшенің дәрежесі n=3. Еселіктер есептелгенде түбірлер саны 3. Әртүрлі түбірлер саны бұдан аз болуы мүмкін, сондықтан шарттағы «еселіктерімен бірге» сөзі маңызды.

Жиі кездесетін қате: A) 2: дәрежені негізсіз бірге кеміткен; n−1 басқа есептеуден шығуы мүмкін, ал еселіктерімен санағанда түбірлер саны n болады.

C) 4: көпмүшенің коэффициенттер санын түбірлер саны деп алған; n дәрежеде n+1 коэффициент орны болуы мүмкін.

D) 6: әр түбірге тағы түйіндес қосып, санауды екі еселеген; теорема барлық комплекс түбірді қамтиды.

E) Түбірлер саны анықталмайды: еселіктерді есептемей әртүрлі түбірлердің санын ойлаған; шарт еселіктерді есептеуді талап етеді.

Қайта орындауға ишара: Көпмүшенің дәрежесін белгілеңіз; әртүрлі түбірлер емес, еселіктерімен есептелген саны сұралғанын ескеріңіз.

Ереже: Квадрат теңдеудің дискриминанты D=b^2−4ac. D<0 болса, нақты түбір жоқ, бірақ комплекс сандарда екі түбір бар: z=(−b±i√(−D))/(2a). Екі таңба да ескеріледі. Нақты коэффициентті көпмүшенің нақты емес түбірлері түйіндес жұппен келеді. Виет формулалары комплекс түбірлерге де қолданылады: қосындысы −b/a, көбейтіндісі c/a. Есептің нақты немесе комплекс сандарда шешілетіні ажыратылады.

Шешу жолы: Жетекші коэффициент 1, сызықтық коэффициент −6. Сондықтан қосынды −(−6)/1=6. Бұл үшін түбірлердің өзін есептеу міндетті емес; олар 3±2i болып, жорамал бөліктері қосындыда жойылады.

Жиі кездесетін қате: B) 3: екі түбірдің орта бөлігін ғана алған; қосындыда ол екі рет кездеседі.

C) -6: Виет формуласындағы −b таңбасын дұрыс қолданбаған; сызықтық коэффициент теріс.

D) 13: түбірлер көбейтіндісін берген; тұрақты мүше қосындыға емес, көбейтіндіге қатысты.

E) 12: −b коэффициентін негізсіз екі рет көбейткен; қосынды формуласы −b/a.

Қайта орындауға ишара: Квадрат теңдеу болса дискриминант немесе Виет формуласын, ал түйіндес түбір болса нақты коэффициенттер шартын пайдаланыңыз.

Ереже: Квадрат теңдеудің дискриминанты D=b^2−4ac. D<0 болса, нақты түбір жоқ, бірақ комплекс сандарда екі түбір бар: z=(−b±i√(−D))/(2a). Екі таңба да ескеріледі. Нақты коэффициентті көпмүшенің нақты емес түбірлері түйіндес жұппен келеді. Виет формулалары комплекс түбірлерге де қолданылады: қосындысы −b/a, көбейтіндісі c/a. Есептің нақты немесе комплекс сандарда шешілетіні ажыратылады.

Шешу жолы: Берілген түбірге түйіндес сан 3−3i да түбір болады. Оның жорамал бөлігі −3. Нақты бөлік 3 сақталады; мұнда барлық коэффициенттердің нақты болуы шарт.

Жиі кездесетін қате: A) 3: бастапқы түбірдің жорамал коэффициентін сақтаған; түйіндесте оның таңбасы өзгереді.

B) 0: түйіндес сандар қосындысының жорамал бөлігін жеке түйіндес санның жорамал бөлігі деп қабылдаған.

C) -6: жорамал коэффициенттің таңбасын өзгерткен соң оны негізсіз екі еселеген.

E) −3i: жорамал мүшені бүтіндей берген; Im(z) нақты коэффициент −3 болады, i қосылмайды.

Қайта орындауға ишара: Квадрат теңдеу болса дискриминант немесе Виет формуласын, ал түйіндес түбір болса нақты коэффициенттер шартын пайдаланыңыз.