Жорамал сандар Комплекс санның анықтамасы

Ереже: Комплекс сан z=a+bi алгебралық түрінде жазылады, мұнда a,b — нақты сандар, i^2=−1. Re(z)=a, Im(z)=b, сондықтан жорамал бөлік i-мен бірге берілмейді. Түйіндес сан a−bi түрінде: нақты бөлігі сақталып, жорамал коэффициенттің таңбасы өзгереді. Модуль |z|=√(a^2+b^2) — комплекс жазықтықтағы қашықтық, сондықтан ол теріс болмайды.

Шешу жолы: z=3+(5)i жазылуында i-ге көбейтілмеген қосылғыш 3. Демек Re(z)=3. Жорамал бөліктің коэффициенті 5, ол бұл сұрақтың жауабы емес.

Жиі кездесетін қате: A) 5: жорамал бөліктің коэффициентін Re(z) деп алған; Re үшін i-ге көбейтілмеген мүше қажет.

C) -3: нақты бөліктің таңбасын негізсіз өзгерткен; санның бастапқы жазылуы сақталады.

D) 8: нақты және жорамал коэффициенттерді қосқан; Re(z) мұндай қосынды емес.

E) 0: санның жорамал мүшесі бар болғандықтан нақты бөлігі жоқ деп ойлаған; екі бөлік қатар болуы мүмкін.

Қайта орындауға ишара: Комплекс санды a+bi түрімен салыстырыңыз; i таңбасы жоқ қосылғышты анықтаңыз.

Ереже: Комплекс сан z=a+bi алгебралық түрінде жазылады, мұнда a,b — нақты сандар, i^2=−1. Re(z)=a, Im(z)=b, сондықтан жорамал бөлік i-мен бірге берілмейді. Түйіндес сан a−bi түрінде: нақты бөлігі сақталып, жорамал коэффициенттің таңбасы өзгереді. Модуль |z|=√(a^2+b^2) — комплекс жазықтықтағы қашықтық, сондықтан ол теріс болмайды.

Шешу жолы: −(4)i мүшесінде i коэффициенті −4. Сондықтан Im(z)=−4. Жорамал бөлік i-мен бірге жазылмайды, нақты сан ретінде беріледі.

Жиі кездесетін қате: B) 4: i алдындағы минус таңбасын жоғалтқан; жорамал коэффициент таңбасымен алынады.

C) 3: нақты бөлікті Im(z) деп берген; нақты және жорамал бөліктер бөлек.

D) -3: нақты бөліктің таңбасын өзгерткен; сұралғаны i алдындағы коэффициент.

E) 0: жорамал мүшені жоқ деп қабылдаған; берілген санда оның коэффициенті нөл емес.

Қайта орындауға ишара: −(a+1)i мүшесін b·i түрінде қарастырыңыз; b нақты коэффициентін таңбасымен алыңыз.

Ереже: Комплекс сан z=a+bi алгебралық түрінде жазылады, мұнда a,b — нақты сандар, i^2=−1. Re(z)=a, Im(z)=b, сондықтан жорамал бөлік i-мен бірге берілмейді. Түйіндес сан a−bi түрінде: нақты бөлігі сақталып, жорамал коэффициенттің таңбасы өзгереді. Модуль |z|=√(a^2+b^2) — комплекс жазықтықтағы қашықтық, сондықтан ол теріс болмайды.

Шешу жолы: |z|=√((9)^2+(12)^2)=√(225)=15. Бұл комплекс жазықтықтағы (0; 0) мен (9; 12) арақашықтығы. 3–4–5 тікбұрышты үшбұрыш пропорциясы да тексеруге көмектеседі.

Жиі кездесетін қате: A) 21: екі координатаны қосқан; қашықтық квадраттар қосындысының түбірі арқылы есептеледі.

B) 3: координаталар айырмасының модулін алған; бұл комплекс санның модулі емес.

D) 225: координаталар квадраттарын қосып, соңынан квадрат түбір алуды ұмытқан.

E) 9: нақты бөлікті ғана алған; жорамал координата да қашықтыққа үлес қосады.

Қайта орындауға ишара: Нақты және жорамал коэффициенттерді квадраттап қосыңыз; шыққан саннан теріс емес квадрат түбір алыңыз.

Ереже: Комплекс сан z=a+bi алгебралық түрінде жазылады, мұнда a,b — нақты сандар, i^2=−1. Re(z)=a, Im(z)=b, сондықтан жорамал бөлік i-мен бірге берілмейді. Түйіндес сан a−bi түрінде: нақты бөлігі сақталып, жорамал коэффициенттің таңбасы өзгереді. Модуль |z|=√(a^2+b^2) — комплекс жазықтықтағы қашықтық, сондықтан ол теріс болмайды.

Шешу жолы: z=3+2i үшін түйіндес z̄=3−2i. Комплекс жазықтықта бұл нақты оське қатысты шағылдыру. Екі санның қосындысы 2·3, ол нақты сан болып шығады.

Жиі кездесетін қате: A) 3+2i: бастапқы санды өзгеріссіз қалдырған; түйіндес санның жорамал таңбасы кері болады.

B) −3+2i: нақты бөлікті өзгертіп, жорамал бөлікті сақтаған; түйіндес алу ережесі керісінше.

C) −3−2i: екі бөліктің де таңбасын өзгертіп, қарама-қарсы санды алған.

E) 2−3i: нақты және жорамал коэффициенттердің орнын ауыстырған; түйіндес алғанда орындары сақталады.

Қайта орындауға ишара: Тек i алдындағы коэффициенттің таңбасын өзгертіңіз; нақты бөлікті өзгеріссіз сақтаңыз.

Ереже: Жорамал бірлік i^2=−1 шартымен анықталады. Оның дәрежелері i, −1, −i, 1 ретімен төрт қадам сайын қайталанады. Сондықтан бүтін көрсеткішті төртке бөліп, қалдығына қарай i дәрежесін анықтаймыз. Қалдық нөл болса 1, бір болса i, екі болса −1, үш болса −i. Көрсеткішті жай ғана коэффициент ретінде көбейту немесе i^2-ні +1 деп алу циклді бұзады.

Шешу жолы: 14=4·3+2. Демек i^14=(i^4)^3·i^2=1·(−1)=−1. Дәрежені 4-ке бөлгендегі қалдық 2 екені шешуші.

Жиі кездесетін қате: A) 1: көрсеткішті төртке бөлгендегі екі қалдықты нөл қалдықпен шатастырған.

B) i: екі қалдықтың орнына бір қалдыққа сәйкес дәрежені таңдаған.

C) −i: екі қалдықтың орнына үш қалдыққа сәйкес дәрежені таңдаған.

D) 0: i нөл емес болғанымен, дәрежесін нөл деп қабылдаған; циклде нөл мән жоқ.

Қайта орындауға ишара: Дәреже көрсеткішін төртке бөліңіз; қалдық бойынша i, −1, −i, 1 циклінен тиісті мәнді таңдаңыз.