Анықталған интегралдың практикалық есептерде қолданылуы

Ереже: Түзусызықты қозғалыста v(t) координатаның туындысына тең. Орын ауыстыру ∫v(t)dt арқылы, ал жүрген жол ∫|v(t)|dt арқылы есептеледі. Жылдамдық бағытын өзгертсе, аралықты оның нөлдерінде бөліп, әр бөліктегі модульді ашамыз. Соңғы координатаны табу үшін орын ауыстыруға бастапқы координата қосылады. м/с пен секундтың көбейтіндісі метр береді; соңғы жылдамдық жолдың өзі емес.

Шешу жолы: 0≤t≤2 кезінде v(t)≥0. S=∫[0; 2]3t dt=[3t^2/2][0; 2]=6 м. Соңғы жылдамдық 6 м/с болғанымен, жолдың өлшемі метр; орташа жылдамдық 3 м/с болғандықтан 3·2=6 м тексереді.

Жиі кездесетін қате: B) 3 м: соңғы аралықтың еніне көбейтпей, орташа жылдамдықтың санын берген.

C) 12 м: соңғы жылдамдықты бүкіл уақытқа көбейткен; ол уақыт бойы тұрақты емес.

D) 4 м: 3t мүшесінің алғашқы функциясында екіге бөлудің орнына үшке бөлген; дәрежені бірге арттыру ережесі қажет.

E) 0 м: бастапқы жылдамдық нөл болғандықтан қозғалыс жоқ деп қате қабылдаған.

Қайта орындауға ишара: Сұралған физикалық шаманы анықтап, оның интеграл астындағы функциясы мен өлшемін жазыңыз; бастапқы мән қажет пе екенін тексеріңіз.

Ереже: Түзусызықты қозғалыста v(t) координатаның туындысына тең. Орын ауыстыру ∫v(t)dt арқылы, ал жүрген жол ∫|v(t)|dt арқылы есептеледі. Жылдамдық бағытын өзгертсе, аралықты оның нөлдерінде бөліп, әр бөліктегі модульді ашамыз. Соңғы координатаны табу үшін орын ауыстыруға бастапқы координата қосылады. м/с пен секундтың көбейтіндісі метр береді; соңғы жылдамдық жолдың өзі емес.

Шешу жолы: S=∫[0; 3]10t^2 dt=[(10/3)t^3][0; 3]=(10/3)·27=90 м. v(3)=90 м/с — соңғы жылдамдық; бұл санның кездейсоқ тең болуы екі шаманың өлшемін теңестірмейді.

Жиі кездесетін қате: A) 30 м: t^2 дәрежесінің орнына уақыт ұзақтығын ғана коэффициентке көбейткен.

C) 270 м: соңғы жылдамдықты үш секундқа көбейткен; айнымалы жылдамдық үшін интеграл қажет.

D) 9 м: 10 коэффициентін жоғалтып, t^2 функциясын ғана интегралдаған.

E) 0 м: дене бастапқыда тыныштықта болғандықтан бүкіл аралықта қозғалмайды деп алған.

Қайта орындауға ишара: Сұралған физикалық шаманы анықтап, оның интеграл астындағы функциясы мен өлшемін жазыңыз; бастапқы мән қажет пе екенін тексеріңіз.

Ереже: Ox осінен айналатын фигураның көлденең қимасы диск болса, оның ауданы πr^2. Мұнда радиус r=|y|, сондықтан көлем V=π∫[a;b]y^2 dx формуласымен есептеледі. Алдымен графиктің ординатасын квадраттап, кейін x бойынша интегралдаймыз. Тұрақты радиус цилиндр береді. V=kπ түрінде сұралған k — π-дің алдындағы коэффициент; ол радиусқа немесе жазық фигураның ауданына тең бола бермейді.

Шешу жолы: Әр қиманың радиусы 3, ауданы 9π. V=π∫[0; 3]9dx=27π, сондықтан k=27. Радиусы 3 және биіктігі 3 цилиндр формуласы да осы мәнді береді.

Жиі кездесетін қате: A) 9: радиусты квадраттағанмен, цилиндрдің 3 бірлік биіктігін көбейтпеген.

C) 18: диск ауданы орнына 2r коэффициентін алып, 2·3·3 есептеген.

D) 81: биіктікті де квадраттап, 3·3 емес, 3^2·3^2 көбейтіндісін алған.

E) 3: радиустың өзін көлем коэффициенті деп қабылдаған; көлемде аудан мен биіктік бірге ескеріледі.

Қайта орындауға ишара: Әр x нүктесіндегі айналу радиусын анықтап, πr^2 қима ауданын берілген шектер бойынша интегралдаңыз.

Ереже: Түзусызықты қозғалыста v(t) координатаның туындысына тең. Орын ауыстыру ∫v(t)dt арқылы, ал жүрген жол ∫|v(t)|dt арқылы есептеледі. Жылдамдық бағытын өзгертсе, аралықты оның нөлдерінде бөліп, әр бөліктегі модульді ашамыз. Соңғы координатаны табу үшін орын ауыстыруға бастапқы координата қосылады. м/с пен секундтың көбейтіндісі метр береді; соңғы жылдамдық жолдың өзі емес.

Шешу жолы: |−10|=10 м/с. S=∫[0; 2]10dt=20 м. Орын ауыстыру −20 м болар еді; теріс таңба қозғалыс бағытын, жолдың терістігін емес, көрсетеді.

Жиі кездесетін қате: A) −20 м: орын ауыстыруды жауап еткен; теріс таңба бағытты білдіреді, ал жол теріс болмайды.

B) −10 м: жылдамдық мәнін жолмен шатастырып, уақыт аралығын да, модульді де ескермеген.

C) 10 м: жылдамдық модулін алғанмен, екі секундтық уақытты көбейтпеген.

D) 0 м: теріс жылдамдықты қозғалыс жоқ деп түсінген; дене қарама-қарсы бағытта қозғалады.

Қайта орындауға ишара: Сұралған физикалық шаманы анықтап, оның интеграл астындағы функциясы мен өлшемін жазыңыз; бастапқы мән қажет пе екенін тексеріңіз.

Ереже: Түзусызықты қозғалыста v(t) координатаның туындысына тең. Орын ауыстыру ∫v(t)dt арқылы, ал жүрген жол ∫|v(t)|dt арқылы есептеледі. Жылдамдық бағытын өзгертсе, аралықты оның нөлдерінде бөліп, әр бөліктегі модульді ашамыз. Соңғы координатаны табу үшін орын ауыстыруға бастапқы координата қосылады. м/с пен секундтың көбейтіндісі метр береді; соңғы жылдамдық жолдың өзі емес.

Шешу жолы: s(3)=s(0)+∫[0; 3]3t^2dt=5+[t^3][0; 3]=5+27=32 м. Интеграл координатаның өзгерісін береді; соңғы координата үшін бастапқы 5 м қосылады.

Жиі кездесетін қате: A) 27 м: координатаның өзгерісін ғана алған; бастапқы 5 м соңғы координатаға қосылады.

B) 5 м: бастапқы координатамен тоқтаған; қозғалыс кезіндегі өсім есептелмеген.

D) 22 м: бастапқы координатаны өсімнен шегерген; формула s(3)=s(0)+Δs болады.

E) 86 м: соңғы жылдамдықты үш секундқа көбейтіп, содан соң 5 қосқан; жылдамдық тұрақты емес.

Қайта орындауға ишара: Сұралған физикалық шаманы анықтап, оның интеграл астындағы функциясы мен өлшемін жазыңыз; бастапқы мән қажет пе екенін тексеріңіз.