Кездейсоқ шамалар таңдалымының сандық сипаттамалары

Ереже: Орта, медиана және мода деректердің әртүрлі сипаттамалары. Арифметикалық орта барлық бақылаулар қосындысын олардың санына бөлу арқылы табылады. Медиана үшін деректерді реттейміз: тақ санды қатарда орталық мән, жұп санды қатарда екі орталық мәннің ортасы алынады. Мода — ең жиі кездесетін мән. Қай сипаттама сұралғанын анықтамай, ең үлкен санды немесе жиіліктің өзін жауап етуге болмайды.

Шешу жолы: Қосынды 3+5+7=15. Үш бақылау бар: орта мән (15)/3=5. Бұл жерде әр мән бір рет кездеседі, сондықтан салмақтардың бәрі бірдей.

Жиі кездесетін қате: A) 15: үш бақылаудың қосындысын берген; орта үшін бақылау санына бөлу керек.

B) 3: ең кіші мәнді алған; орта барлық үш бақылауды қамтиды.

D) 7: ең үлкен мәнді алған; орта ең үлкен санның өзі емес.

E) 15/2: үш бақылаудың қосындысын екіге бөлген; бөлім олардың санына тең болуы керек.

Қайта орындауға ишара: Қатардың барлық үш мәнін қосып, үшке бөліңіз; нәтиже шеткі мәндердің арасында жатуы тиіс.

Ереже: Дисперсия бақылаулардың ортадан қаншалықты шашырағанын сипаттайды. Бұл есепте қолданылатын формула шартта көрсетілген: D=Σ(x−x̄)^2/n. Алдымен орта, кейін әр ауытқу, оның квадраты және квадраттардың қосындысы табылады. Таңбалы ауытқулардың қосындысы нөл болуы мүмкін, бірақ квадратталған ауытқулар жоғалмайды. n−1 бөлімі қолданылатын түзетілген бағалау басқа формула; оны шарттағы n орнына өздігінен қоюға болмайды.

Шешу жолы: Орта x̄=5. Ауытқулар −2, 0, 2, олардың квадраттары 4, 0, 4. Қосынды 8, бақылау саны 3, сондықтан D=8/3. Шарттағы бөлім n, n−1 түзетуі бұл есепте қолданылмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 4: квадратталған ауытқулар қосындысын n−1-ге бөлген; шартта n бөлімі берілген.

C) 8: ауытқу квадраттарын қосып, бақылаулар санына бөлуді ұмытқан.

D) 0: таңбалы ауытқуларды квадраттамай қосқан; −2 мен 2 жойылып кетеді.

E) 4/3: ауытқулардың модульдерін қосқан; дисперсияда олардың квадраттары қажет.

Қайта орындауға ишара: Ортадан әр ауытқуды жазыңыз, оларды квадраттап қосыңыз; бөлімді шарттағы формуладан алыңыз.

Ереже: Өзгеріс ауқымы ең үлкен және ең кіші бақылаудың айырмасына тең: R=xmax−xmin. Стандарттық ауытқу σ=√D арқылы анықталады және теріс емес. Ауқым, дисперсия және стандарттық ауытқу әртүрлі көрсеткіштер. Дисперсия бастапқы өлшемнің квадратында, ал ауқым мен стандарттық ауытқу бастапқы өлшемде беріледі. Біреуін есептеуге арналған амалдарды екіншісіне ауыстырып қолдану дұрыс емес.

Шешу жолы: Берілген шеткі мәндерден R=(12)−3=9. Ортадағы бақылаулар ауқымға әсер етпейді, егер ең кіші және ең үлкен мәндер өзгермесе. Ауқым деректердің жалпы жайылуын көрсетеді.

Жиі кездесетін қате: A) 15: ең кіші және ең үлкен мәндерді азайтудың орнына қосқан.

B) 12: ең үлкен мәнді таңдаған; ауқым үшін ең кіші мәнді шегеру керек.

C) 3: ең кіші бақылауды ауқым деп берген; екі шеткі мәннің айырмасы қажет.

E) -9: азайту ретін өзгерткен; ауқым xmax−xmin болғандықтан теріс болмайды.

Қайта орындауға ишара: Ең үлкен бақылаудан ең кішісін азайтыңыз; ортадағы деректер бұл есепте қажет емес.

Ереже: Өзгеріс ауқымы ең үлкен және ең кіші бақылаудың айырмасына тең: R=xmax−xmin. Стандарттық ауытқу σ=√D арқылы анықталады және теріс емес. Ауқым, дисперсия және стандарттық ауытқу әртүрлі көрсеткіштер. Дисперсия бастапқы өлшемнің квадратында, ал ауқым мен стандарттық ауытқу бастапқы өлшемде беріледі. Біреуін есептеуге арналған амалдарды екіншісіне ауыстырып қолдану дұрыс емес.

Шешу жолы: σ=√(9)=3, себебі 3 оң сан. Стандарттық ауытқу бақылау мәндерімен бір өлшемде, ал дисперсия сол өлшемнің квадратында беріледі. Теріс түбір стандарттық ауытқу болмайды.

Жиі кездесетін қате: B) 9: дисперсияны өзгеріссіз берген; стандарттық ауытқу оның квадрат түбірі.

C) -3: теріс түбірді алған; стандарттық ауытқу қашықтық сипаттамасы ретінде теріс емес.

D) 9/2: дисперсияны екіге бөлген; квадрат түбір алу екіге бөлуге тең емес.

E) 81: түбір алудың орнына дисперсияны қайта квадраттаған.

Қайта орындауға ишара: Қай теріс емес санның квадраты берілген D-ге тең болатынын анықтаңыз.

Ереже: Орта, медиана және мода деректердің әртүрлі сипаттамалары. Арифметикалық орта барлық бақылаулар қосындысын олардың санына бөлу арқылы табылады. Медиана үшін деректерді реттейміз: тақ санды қатарда орталық мән, жұп санды қатарда екі орталық мәннің ортасы алынады. Мода — ең жиі кездесетін мән. Қай сипаттама сұралғанын анықтамай, ең үлкен санды немесе жиіліктің өзін жауап етуге болмайды.

Шешу жолы: Төрт бақылаудың ортаңғы мәндері 4 және 7. Олардың ортасы (4+7)/2=11/2. Шеткі мәндер медиананы есептеуге тікелей кірмейді.

Жиі кездесетін қате: B) 4: екі орталық бақылаудың төменгісін ғана алған; жұп қатарда екеуінің ортасы қажет.

C) 7: екі орталық бақылаудың жоғарғысын ғана алған; медиана олардың арифметикалық ортасы.

D) 11: орталық мәндерді қосып, екіге бөлуді ұмытқан.

E) 12: төрт бақылау қосындысын екіге бөлген; медианаға тек екі орталық бақылау кіреді.

Қайта орындауға ишара: Төрт мүшелі реттелген қатардың екінші және үшінші мүшелерін алып, олардың орта мәнін табыңыз.