y=3, y=0, x=0, x=3 сызықтарымен шектелген тіктөртбұрыш Ox осінен айналады. Көлемі V=kπ болса, k мәнін табыңыз.

Ереже: Ox осінен айналатын фигураның көлденең қимасы диск болса, оның ауданы πr^2. Мұнда радиус r=|y|, сондықтан көлем V=π∫[a;b]y^2 dx формуласымен есептеледі. Алдымен графиктің ординатасын квадраттап, кейін x бойынша интегралдаймыз. Тұрақты радиус цилиндр береді. V=kπ түрінде сұралған k — π-дің алдындағы коэффициент; ол радиусқа немесе жазық фигураның ауданына тең бола бермейді.

Шешу жолы: Әр қиманың радиусы 3, ауданы 9π. V=π∫[0; 3]9dx=27π, сондықтан k=27. Радиусы 3 және биіктігі 3 цилиндр формуласы да осы мәнді береді.

Жиі кездесетін қате: A) 9: радиусты квадраттағанмен, цилиндрдің 3 бірлік биіктігін көбейтпеген.

C) 18: диск ауданы орнына 2r коэффициентін алып, 2·3·3 есептеген.

D) 81: биіктікті де квадраттап, 3·3 емес, 3^2·3^2 көбейтіндісін алған.

E) 3: радиустың өзін көлем коэффициенті деп қабылдаған; көлемде аудан мен биіктік бірге ескеріледі.

Қайта орындауға ишара: Әр x нүктесіндегі айналу радиусын анықтап, πr^2 қима ауданын берілген шектер бойынша интегралдаңыз.