Қисықсызықты трапеция және оның ауданы Анықталған интеграл

Ереже: Геометриялық аудан теріс болмайды. f(x)≥0 аралығында график пен Ox осі арасындағы аудан ∫f(x)dx арқылы табылады; f(x)<0 болса, ∫|f(x)|dx қажет. Екі график арасындағы аудан үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны азайтамыз. Анықталған интеграл таңбалы шама болғандықтан, оның шектерін ауыстыру таңбасын өзгертеді. Аудан мен таңбалы интегралды ажырату есептің негізгі шарты.

Шешу жолы: Алғашқы функция F(x)=(3/3)x^3. F(3)−F(0)=(3/3)·27−0=27. Аралықта функция теріс емес, сондықтан нәтиже тиісті қисықсызықты трапеция ауданына да тең.

Жиі кездесетін қате: A) 81: дәрежені арттырғанмен, алғашқы функциядағы 3 бөлімі жоғалған.

B) 81/4: алғашқы функциядағы жаңа көрсеткішке бөлуді төртке бөлу деп қате орындаған.

C) 27/2: x^2 орнына x мүшесін интегралдап, көрсеткішті қате өзгерткен.

D) -27: шектерді кері ретпен қойып, оң функцияның интегралын теріс алған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен интегралдың таңбалы мәні ме, әлде геометриялық аудан ба сұралғанын анықтап, алғашқы функция мен шектерді жазыңыз.

Ереже: Геометриялық аудан теріс болмайды. f(x)≥0 аралығында график пен Ox осі арасындағы аудан ∫f(x)dx арқылы табылады; f(x)<0 болса, ∫|f(x)|dx қажет. Екі график арасындағы аудан үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны азайтамыз. Анықталған интеграл таңбалы шама болғандықтан, оның шектерін ауыстыру таңбасын өзгертеді. Аудан мен таңбалы интегралды ажырату есептің негізгі шарты.

Шешу жолы: Алғашқы функция F(x)=(7/3)x^3. F(3)−F(0)=(7/3)·27−0=63. Аралықта функция теріс емес, сондықтан нәтиже тиісті қисықсызықты трапеция ауданына да тең.

Жиі кездесетін қате: A) 189: дәрежені арттырғанмен, алғашқы функциядағы 3 бөлімі жоғалған.

B) 189/4: алғашқы функциядағы жаңа көрсеткішке бөлуді төртке бөлу деп қате орындаған.

D) 63/2: x^2 орнына x мүшесін интегралдап, көрсеткішті қате өзгерткен.

E) -63: шектерді кері ретпен қойып, оң функцияның интегралын теріс алған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен интегралдың таңбалы мәні ме, әлде геометриялық аудан ба сұралғанын анықтап, алғашқы функция мен шектерді жазыңыз.

Ереже: Геометриялық аудан теріс болмайды. f(x)≥0 аралығында график пен Ox осі арасындағы аудан ∫f(x)dx арқылы табылады; f(x)<0 болса, ∫|f(x)|dx қажет. Екі график арасындағы аудан үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны азайтамыз. Анықталған интеграл таңбалы шама болғандықтан, оның шектерін ауыстыру таңбасын өзгертеді. Аудан мен таңбалы интегралды ажырату есептің негізгі шарты.

Шешу жолы: f(x)=−3 бүкіл аралықта теріс. Оның модулі 3, сондықтан S=∫[0; 2]3dx=6. Таңбалы интеграл −6 болар еді, бірақ сұрақта геометриялық аудан сұралып тұр.

Жиі кездесетін қате: B) -6 бірлік²: геометриялық аудан орнына таңбалы интегралды таңдаған; аудан теріс болмайды.

C) 3 бірлік²: аралықтың 2 бірлік енін ескермей, тек биіктікті алған.

D) 12 бірлік²: тіктөртбұрыш ауданын негізсіз екі еселеген.

E) 0 бірлік²: x=0 шекарасын бүкіл фигураға таратып, аралықтың оң енін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Алдымен интегралдың таңбалы мәні ме, әлде геометриялық аудан ба сұралғанын анықтап, алғашқы функция мен шектерді жазыңыз.

Ереже: Геометриялық аудан теріс болмайды. f(x)≥0 аралығында график пен Ox осі арасындағы аудан ∫f(x)dx арқылы табылады; f(x)<0 болса, ∫|f(x)|dx қажет. Екі график арасындағы аудан үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны азайтамыз. Анықталған интеграл таңбалы шама болғандықтан, оның шектерін ауыстыру таңбасын өзгертеді. Аудан мен таңбалы интегралды ажырату есептің негізгі шарты.

Шешу жолы: f(x)=−7 бүкіл аралықта теріс. Оның модулі 7, сондықтан S=∫[0; 2]7dx=14. Таңбалы интеграл −14 болар еді, бірақ сұрақта геометриялық аудан сұралып тұр.

Жиі кездесетін қате: A) -14 бірлік²: геометриялық аудан орнына таңбалы интегралды таңдаған; аудан теріс болмайды.

B) 7 бірлік²: аралықтың 2 бірлік енін ескермей, тек биіктікті алған.

C) 28 бірлік²: тіктөртбұрыш ауданын негізсіз екі еселеген.

E) 0 бірлік²: x=0 шекарасын бүкіл фигураға таратып, аралықтың оң енін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Алдымен интегралдың таңбалы мәні ме, әлде геометриялық аудан ба сұралғанын анықтап, алғашқы функция мен шектерді жазыңыз.

Ереже: Геометриялық аудан теріс болмайды. f(x)≥0 аралығында график пен Ox осі арасындағы аудан ∫f(x)dx арқылы табылады; f(x)<0 болса, ∫|f(x)|dx қажет. Екі график арасындағы аудан үшін жоғарғы функциядан төменгі функцияны азайтамыз. Анықталған интеграл таңбалы шама болғандықтан, оның шектерін ауыстыру таңбасын өзгертеді. Аудан мен таңбалы интегралды ажырату есептің негізгі шарты.

Шешу жолы: 2x-тің алғашқы функциясы x^2. Жоғарғы шек 0, төменгі шек 3, сондықтан F(0)−F(3)=0−9=-9. Теріс нәтиже интеграл үшін мүмкін; ол геометриялық ауданмен бірдей ұғым емес.

Жиі кездесетін қате: A) 9: интеграл шектерін ауыстырғанда таңбаның өзгеруін ескермеген.

B) -18: 2x мүшесінің алғашқы функциясын x^2 орнына 2x^2 деп алған.

C) -9/2: 2 көбейткішін жоғалтып, x функциясын ғана интегралдаған.

D) -3: жоғарғы және төменгі шек айырмасын ғана алған; функцияны интегралдау қажет.

Қайта орындауға ишара: Алдымен интегралдың таңбалы мәні ме, әлде геометриялық аудан ба сұралғанын анықтап, алғашқы функция мен шектерді жазыңыз.