Алғашқы функция және анықталмаған интеграл Интегралдар кестесі

Ереже: F′(x)=f(x) теңдігі аралықтың барлық нүктесінде орындалса, F функциясы f үшін алғашқы функция болады. Дәрежелік мүшені интегралдағанда көрсеткішті бірге арттырып, жаңа көрсеткішке бөлеміз: ∫ax^n dx=ax^(n+1)/(n+1)+C, n≠−1. C — кез келген тұрақты; оның туындысы нөл. Табылған формуладан туынды алу алғашқы функцияны тексеруге мүмкіндік береді.

Шешу жолы: Дәрежені 2-ден 3-ке арттырып, коэффициентті 3-ке бөлеміз: F(x)=(3/3)x^3+C. Туындысын алғанда 3 қысқарып, бастапқы 3x^2 шығады. C кез келген тұрақты сан болады.

Жиі кездесетін қате: A) 6x+C: туынды алудың 2x ережесін алғашқы функция іздеуге қолданған; интегралдау кері амал.

B) 3x+C: x^2 дәрежесін жоғалтып, тұрақты функцияны интегралдағандай әрекет жасаған.

C) 3x^3+C: көрсеткішті арттырғанмен, жаңа 3 көрсеткішіне бөлмеген.

E) (3/2)x^2+C: жаңа дәрежені арттырмай, екіге бөлген; оның туындысы бастапқы квадрат мүшеге тең емес.

Қайта орындауға ишара: Әр кандидаттан туынды алып, нәтиже берілген f(x)-ке тең болатынын тексеріңіз.

Ереже: Бір аралықта бір функцияның екі алғашқы функциясы тек тұрақтыға айырмашылық жасайды. Шынында, олардың айырмасының туындысы f(x)−f(x)=0, сондықтан айырма аргументке тәуелсіз. Қосымша F(a)=b шарты осы тұрақтыны анықтауға көмектеседі: жалпы алғашқы функцияға a қойып, алынған теңдеуді шешеміз. Бір нүктедегі мәнді бүкіл функцияның формуласымен шатастыруға болмайды.

Шешу жолы: x=3 мәнін қойсақ, 9+C=12. Екі жақтан 9 санын азайтамыз: C=3. Сондықтан қажетті алғашқы функция F(x)=x^2+3, берілген нүкте шарты да орындалады.

Жиі кездесетін қате: A) 12: берілген F(a) мәнін C тұрақтысымен шатастырған; x^2 мүшесі де мәнге үлес қосады.

B) 9: аргумент квадратын таңдаған; ол шарттағы мәннен шегерілуі керек.

C) -3: C табуда азайту ретін кері қойған; C=F(a)−a^2.

D) 21: a^2 мүшесін шегерудің орнына оны қайта қосқан.

Қайта орындауға ишара: F(x)=x^2+C формуласына берілген аргументті қойып, бір белгісізі бар теңдеуді шешіңіз.

Ереже: Бір аралықта бір функцияның екі алғашқы функциясы тек тұрақтыға айырмашылық жасайды. Шынында, олардың айырмасының туындысы f(x)−f(x)=0, сондықтан айырма аргументке тәуелсіз. Қосымша F(a)=b шарты осы тұрақтыны анықтауға көмектеседі: жалпы алғашқы функцияға a қойып, алынған теңдеуді шешеміз. Бір нүктедегі мәнді бүкіл функцияның формуласымен шатастыруға болмайды.

Шешу жолы: (F−G)′=f−f=0. Сондықтан айырманы бір ғана нүктеде есептеу жеткілікті: F(3)−G(3)=10−5=5. Бұл мән қарастырылған аралықтағы барлық x үшін бірдей.

Жиі кездесетін қате: B) 10: F функциясының бір нүктедегі мәнін екі функцияның айырмасы деп алған.

C) 0: F′=G′ болғанын F=G деп түсінген; бірдей туынды функциялардың мәндері тең дегенді білдірмейді.

D) -5: айырманың ретін өзгертіп G−F есептеген; сұралған рет сақталуы қажет.

E) 15: F және G мәндерін азайтудың орнына қосқан.

Қайта орындауға ишара: (F−G)′ туындысын қарастырып, айырманың мәнін берілген бір нүктеде есептеңіз.

Ереже: Бір аралықта бір функцияның екі алғашқы функциясы тек тұрақтыға айырмашылық жасайды. Шынында, олардың айырмасының туындысы f(x)−f(x)=0, сондықтан айырма аргументке тәуелсіз. Қосымша F(a)=b шарты осы тұрақтыны анықтауға көмектеседі: жалпы алғашқы функцияға a қойып, алынған теңдеуді шешеміз. Бір нүктедегі мәнді бүкіл функцияның формуласымен шатастыруға болмайды.

Шешу жолы: F(x)=3x+C. F(0)=2 болғандықтан C=2. Енді x=3 қойып, F(3)=3·3+2=11 аламыз. Туындысы 3, бастапқы шарт F(0)=2 де сақталған.

Жиі кездесетін қате: B) 9: тұрақты жылдамдық бойынша өзгерісті ғана есептеп, F(0)=2 бастапқы мәнін қоспаған.

C) 2: бастапқы мәнді сақтап, аргумент өзгергендегі өсімді есептемеген.

D) 5: үш уақыт бірлігі орнына бір бірлікке сәйкес өсімді қосқан.

E) 7: бастапқы 2 мәнін қосудың орнына шегерген.

Қайта орындауға ишара: Тұрақты f(x) үшін F(x)=f·x+C жазып, F(0) шартынан C табыңыз.

Ереже: Функцияның туындысы оның аргумент өзгергендегі өзгеру қарқынын сипаттайды. Дәрежелік мүшенің туындысы (ax^n)′=anx^(n−1), тұрақтының туындысы нөлге тең. Қосындыны мүшелеп дифференциалдаймыз. Нүктедегі туындыны есептеу үшін алдымен функцияның жалпы туындысын табып, содан кейін ғана берілген аргументті қоямыз. Функцияның мәні мен туындысының мәні әртүрлі шамалар.

Шешу жолы: F′(x)=9x^2+2, себебі тұрақты 7-нің туындысы нөл. x=1 кезінде f(1)=9+2=11. F(1) мәнін есептеу басқа сұраққа жауап берер еді.

Жиі кездесетін қате: A) 12: F(1) функция мәнін есептеген; берілген f=F′ шарты туындыны талап етеді.

B) 5: x^3 көрсеткішінен шығатын 3 көбейткішін ескермеген.

C) 9: 2x мүшесінің туындысы 2 екенін түсіріп тастаған.

D) 18: туындыда 7 тұрақтысын сақтап қалған; тұрақтының туындысы нөл.

Қайта орындауға ишара: F(x) функциясын мүшелеп дифференциалдап, тек содан кейін x=1 қойыңыз.