Интегралдау әдістері

Ереже: Айнымалыны алмастырғанда интегралдағы өрнек, дифференциал және шектер бірге өзгереді. u=g(x) болса, du=g′(x)dx; жетіспейтін коэффициентті көбейткіш ретінде ескеру керек. Анықталған интегралды жаңа айнымалымен есептегенде бастапқы x шектеріне сәйкес u шектері қолданылады. Тек әріптің атын ауыстыру жеткіліксіз. Нәтижені бастапқы айнымалыдағы алғашқы функция арқылы қайта тексеруге болады.

Шешу жолы: u=x^2+1, du=2x dx. x=0 кезінде u=1, x=1 кезінде u=2. Интеграл 3∫[1; 2] u du=3·(4−1)/2=9/2. Кері тексеру үшін көбейтіндіні ашып интегралдауға да болады.

Жиі кездесетін қате: B) 9: du=2x dx алмастыруында 2 коэффициентін қысқартпаған, сондықтан нәтиже екі есе артқан.

C) 3/2: u шектерін 1 және 2 орнына бастапқы 0 және 1 деп сақтап қойған.

D) 6: жоғарғы шектегі мәнді ғана алған; төменгі u=1 үлесі шегерілуі керек.

E) -9/2: шектерді ауыстырып, F(1)−F(2) айырмасын есептеген.

Қайта орындауға ишара: u шектерін x=0 және x=1 үшін бөлек есептеп, du ішіндегі 2x көбейткішін пайдаланыңыз.

Ереже: Интегралдың сызықтылығы тұрақты көбейткішті сыртқа шығаруға және қосындыны мүшелеп интегралдауға мүмкіндік береді. ∫[a;b]f(x)dx=F(b)−F(a), мұнда F′=f. Алдымен әр мүшенің алғашқы функциясы табылады, кейін жоғарғы және төменгі шектер қойылады. Екі мәннің айырмасы есептелгенде тұрақты C жойылады. Интеграл астындағы функцияның бір нүктедегі мәні бүкіл аралықтың интегралына тең емес.

Шешу жолы: 3∫[0; 1](2x+3)dx=3[x^2+3x][0; 1]=3·(1+3−0)=12. Екі мүшенің де алғашқы функциясын алғандықтан ешбір қосылғыш жоғалмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 6: тұрақты қосылғышты түсіріп, сызықтық мүшені де бастапқы түрінде есептеген.

B) 9: 2x мүшесінің интегралын жоғалтып, тек тұрақты бөлікті есептеген.

C) 15: жоғарғы шекте алғашқы функция орнына интеграл астындағы функцияны алған.

D) 3: тек 2x мүшесінің интегралын алған, +3 қосылғышы жоғалған.

Қайта орындауға ишара: Тұрақты көбейткішті сыртқа шығарып, 2x пен 3 мүшелерінің алғашқы функцияларын бөлек жазыңыз.

Ереже: Бөліктеп интегралдау формуласы ∫u dv=uv−∫v du көбейтіндінің туындысынан шығады. u және dv таңдау есепті жеңілдетуі керек: көпмүшені дифференциалдағанда оның дәрежесі кемиді, ал e^x интегралданғанда өзгермейді. Анықталған интегралда шекаралық uv мүшесі де, қалған интеграл да ескеріледі. Дайын алғашқы функцияның туындысын тексеру таңба мен коэффициент қатесін табуға көмектеседі.

Шешу жолы: u=x, dv=e^x dx таңдағанда du=dx, v=e^x. Сондықтан алғашқы функция 3(x−1)e^x. Шектерде: x=1 кезінде 0, x=0 кезінде −3. Айырмасы 0−(−3)=3.

Жиі кездесетін қате: A) 3e: бөліктеп интегралдаудың шекаралық uv мүшесімен тоқтаған; қалған интеграл шегеріледі.

B) 3(e−1): x көбейткішін ескермей, тек e^x функциясын интегралдаған.

C) 3(2e−1): формуладағы минусты плюсқа ауыстырған; ∫u dv=uv−∫v du.

E) -3: алғашқы функцияның төменгі шектегі мәнін теріс таңбасымен тікелей жауап еткен.

Қайта орындауға ишара: u=x таңдаңыз; uv шекаралық мүшесін және қалған e^x интегралын қатар есептеңіз.

Ереже: Айнымалыны алмастырғанда интегралдағы өрнек, дифференциал және шектер бірге өзгереді. u=g(x) болса, du=g′(x)dx; жетіспейтін коэффициентті көбейткіш ретінде ескеру керек. Анықталған интегралды жаңа айнымалымен есептегенде бастапқы x шектеріне сәйкес u шектері қолданылады. Тек әріптің атын ауыстыру жеткіліксіз. Нәтижені бастапқы айнымалыдағы алғашқы функция арқылы қайта тексеруге болады.

Шешу жолы: u=x+1 десек, du=dx, жаңа шектер 1 және 2. Нәтиже 3[u^3/3][1; 2]=3(8−1)/3=7. Жақшаны ашқанда x^2+2x+1 шығып, сол жауап алынады.

Жиі кездесетін қате: A) 8: тек жоғарғы u=2 шегін есептеген; төменгі шектегі u=1 мәні де шегеріледі.

B) 21: кубтың алғашқы функциясын жазғанда 3 бөлімі жоғалған.

C) 1: u=x+1 алмастыруында жаңа шектерді есептемеген.

D) 9/2: (x+1)^2 өрнегін x+1 деп қабылдап, квадрат мүшені жоғалтқан.

Қайта орындауға ишара: u=x+1 алмастыруымен шектерді жаңартыңыз немесе жақшаны толық ашып мүшелеп интегралдаңыз.

Ереже: Айнымалыны алмастырғанда интегралдағы өрнек, дифференциал және шектер бірге өзгереді. u=g(x) болса, du=g′(x)dx; жетіспейтін коэффициентті көбейткіш ретінде ескеру керек. Анықталған интегралды жаңа айнымалымен есептегенде бастапқы x шектеріне сәйкес u шектері қолданылады. Тек әріптің атын ауыстыру жеткіліксіз. Нәтижені бастапқы айнымалыдағы алғашқы функция арқылы қайта тексеруге болады.

Шешу жолы: x dx=(u/2)(du/2)=u du/4. Шектер 0 және 6. Нәтиже (1/4)·(6)^2/2=9/2. Бастапқы интегралдың x^2/2 алғашқы функциясы да осы мәнді береді.

Жиі кездесетін қате: A) 9: dx=du/2 коэффициентін жоғалтқан; x=u/2 шарты да қатар қолданылады.

B) 9/8: жаңа жоғарғы шекті 2a орнына a деп қабылдаған.

D) 18: x пен dx-тің екеуіндегі 1/2 көбейткіштерді де ескермеген.

E) -9/2: алғашқы функцияның шекаралық мәндерін кері ретпен азайтқан.

Қайта орындауға ишара: x=u/2 және dx=du/2 теңдіктерін екеуін де жазып, жаңа жоғарғы шекті есептеңіз.