Кеңістіктегі екі түзудің арасындағы бұрыш

Ереже: Екі түзудің арасындағы бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады. Бағыттаушы u және v векторлары үшін cos φ = |u·v|/(|u|·|v|); скаляр көбейтіндінің модулі қолданылады.

Қолдану: Скаляр көбейтінді 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1. Векторлардың ұзындықтары 1 және √2. Сондықтан cos φ = 1/√2 = √2/2, бұл 0° пен 90° аралығында 45° бұрышына сәйкес келеді. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 90°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 60°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 0°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 30°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Бағыттаушы векторлардың скаляр көбейтіндісін және екі ұзындығын жеке есептеңіз.

Ереже: Екі түзудің арасындағы бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады. Бағыттаушы u және v векторлары үшін cos φ = |u·v|/(|u|·|v|); скаляр көбейтіндінің модулі қолданылады.

Қолдану: u·v = −1, ал |u| = √2 және |v| = 1. Түзулер бұрышы үшін алым |−1| = 1 болады: cos φ = 1/√2. Осыдан φ = 45°; бағытталған векторлар арасындағы 135° алынбайды. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 90°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°, векторлар бұрышы 135° болса да түзулер үшін кіші бұрыш алынады. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 135°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°, векторлар бұрышы 135° болса да түзулер үшін кіші бұрыш алынады. Түзулердің кіші бұрышы алынғандықтан 90°-тан үлкен нәтиже жарамайды.

D) 60°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°, векторлар бұрышы 135° болса да түзулер үшін кіші бұрыш алынады. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 0°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°, векторлар бұрышы 135° болса да түзулер үшін кіші бұрыш алынады. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Теріс скаляр көбейтінді шықса, түзулер арасындағы бұрышқа модуль қажет екенін еске түсіріңіз.

Ереже: Екі түзудің арасындағы бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады. Бағыттаушы u және v векторлары үшін cos φ = |u·v|/(|u|·|v|); скаляр көбейтіндінің модулі қолданылады.

Қолдану: Скаляр көбейтінді 1·2 + 2·(−1) + (−1)·0 = 0. Екі вектор да нөлдік емес, сондықтан формуладағы бөлім оң. cos φ = 0 теңдігінен φ = 90° шығады; берілген қиылысатын түзулер перпендикуляр. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 0°: Бұл нұсқа u·v=0 шартына сәйкес келмейді. φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 60°: Бұл нұсқа u·v=0 шартына сәйкес келмейді. φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 45°: Бұл нұсқа u·v=0 шартына сәйкес келмейді. φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 30°: Бұл нұсқа u·v=0 шартына сәйкес келмейді. φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Скаляр көбейтіндіні есептеу арқылы тік бұрышты ұзындықтарды толық таппай-ақ анықтауға болады.

Ереже: Екі түзудің арасындағы бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады. Бағыттаушы u және v векторлары үшін cos φ = |u·v|/(|u|·|v|); скаляр көбейтіндінің модулі қолданылады.

Қолдану: u = −2v болғандықтан, векторлар коллинеар және түзулердің бағыттары параллель. Скаляр көбейтіндінің модулі ұзындықтар көбейтіндісіне тең: cos φ = 1. Демек, түзулер арасындағы бұрыш 0° болады. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 90°: Бұл нұсқа v=−u/2 шартына сәйкес келмейді. φ=0°; қарама-қарсы бағыт түзуді өзгертпейді. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

B) 180°: Бұл нұсқа v=−u/2 шартына сәйкес келмейді. φ=0°; қарама-қарсы бағыт түзуді өзгертпейді. Түзулердің кіші бұрышы алынғандықтан 90°-тан үлкен нәтиже жарамайды.

C) 60°: Бұл нұсқа v=−u/2 шартына сәйкес келмейді. φ=0°; қарама-қарсы бағыт түзуді өзгертпейді. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 30°: Бұл нұсқа v=−u/2 шартына сәйкес келмейді. φ=0°; қарама-қарсы бағыт түзуді өзгертпейді. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Бір вектор екіншісінің нөлден өзге санға көбейтіндісі бола ма, соны тексеріңіз.

Ереже: Екі түзудің арасындағы бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады. Бағыттаушы u және v векторлары үшін cos φ = |u·v|/(|u|·|v|); скаляр көбейтіндінің модулі қолданылады.

Қолдану: Канондық теңдеудің бөлімдері бағыттаушы векторды береді: u = (2; −1; 2). Ox осінің бағыты v = (1; 0; 0). Скаляр көбейтінді 2, ал ұзындықтар 3 және 1, сондықтан cos φ = 2/3. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) √2/2: Бұл нұсқа cosφ=2/3 шартына сәйкес келмейді. Бағыттаушы вектор (2;−1;2), ұзындығы 3. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

B) 1/3: Бұл нұсқа cosφ=2/3 шартына сәйкес келмейді. Бағыттаушы вектор (2;−1;2), ұзындығы 3. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 2/9: Бұл нұсқа cosφ=2/3 шартына сәйкес келмейді. Бағыттаушы вектор (2;−1;2), ұзындығы 3. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) −2/3: Бұл нұсқа cosφ=2/3 шартына сәйкес келмейді. Бағыттаушы вектор (2;−1;2), ұзындығы 3. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Канондық теңдеудің бөлімдерінен бағытты оқып, координата осінің бірлік векторын пайдаланыңыз.