«Түзу мен жазықтық теңдеулерінің қолданылуы» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар

Ереже: Ax+By+Cz+D=0 жазықтығынан M(x₀;y₀;z₀) нүктесіне дейінгі қашықтық |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²). Алымның модулі ұзындықтың теріс болмауын, бөлім нормальдің бірлік ұзындығын қамтамасыз етеді.

Қолдану: Нормаль (1;−2;2), оның ұзындығы √(1+4+4)=3. Алым |2−2·(−1)+2·4−6|=6. Сондықтан d=6/3=2; координаталардың таңбаларын сақтап қойып, соңында модульді аламыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 6: Бұл алым ғана; нормаль ұзындығы 3-ке бөлу керек.

B) 2/3: Нормаль ұзындығының квадратына бөлінген.

D) -2: Қашықтық теріс болмайды; модуль алынбаған.

E) 3: Бұл нормаль ұзындығы; алым мен бөлімнің қатынасы емес.

Қайта орындауға ишара: Жазықтыққа координаталарды қойғанда −2y мүшесінің таңбасын тексеріңіз.

Ереже: Параллель жазықтықтардың теңдеулерін алдымен бірдей нормаль коэффициенттеріне келтіреді. Ax+By+Cz+D₁=0 және Ax+By+Cz+D₂=0 үшін қашықтық |D₁−D₂|/√(A²+B²+C²).

Қолдану: Екінші теңдеуді екіге бөлеміз: x+2y−2z+3=0. Екі нормаль бірдей, ұзындығы 3. Тұрақты мүшелер айырмасының модулі |−9−3|=12, сондықтан арақашықтық 12/3=4. Теңдеулердің бастапқы жазылу масштабы нәтиже өзгертпеуі керек.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 5: Тұрақты мүшелер әртүрлі масштабта тікелей азайтылған; алдымен нормальдарды теңестіру керек.

B) 12: Бұл нормаланған тұрақты мүшелер айырмасы; нормаль ұзындығына бөлінбеген.

C) 2: Айырмада масштаб коэффициенті қайта екі рет қолданылған.

E) 4/3: Бөлімде нормаль квадраты қолданылған.

Қайта орындауға ишара: Екі жазықтықтың айнымалы коэффициенттерін алдымен бірдей етіңіз.

Ереже: A(x₀;y₀;z₀) арқылы өтетін, нормалі (a;b;c) болатын жазықтық a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Теңдеу нормаль бағытын да, берілген нүктенің тиістілігін де сақтауы керек.

Қолдану: Нүкте-нормаль түрінде (x−2)+2(y−1)+2(z+1)=0 жазамыз. Жақшаларды ашсақ x+2y+2z−2=0. A-ны қайта қойған кезде 2+2−2−2=0 шығады; нормальдің үш координатасы да айнымалы коэффициенттерден дұрыс оқылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) x+2y+2z+2=0: A координаталарын қойғанда 4 шығады; тұрақты мүшенің таңбасы қате.

B) 2x+y−z−2=0: Нормаль координаталары (1;2;2)-ге пропорционал емес.

C) x+2y+z−3=0: z коэффициенті өзгерген; берілген нормаль сақталмаған.

D) x−2y+2z+2=0: y коэффициентінің таңбасы берілген нормальге сәйкес емес.

Қайта орындауға ишара: n·(X−A)=0 теңдеуін жазыңыз.

Ереже: z=c жазықтығына ортогональ проекциялау Oz осіне параллель жүргізіледі. Нүктенің x және y координаталары сақталып, z координатасы c мәнімен ауысады; проекция жазықтықта жатуы тиіс.

Қолдану: z=4 жазықтығының нормалі Oz осі бойында. Перпендикуляр түсіргенде тек z координатасы өзгереді, ал x=3 және y=2 сақталады. Нәтижесінде H(3;2;4); MH=(0;0;5) нормальға параллель және H жазықтық теңдеуін орындайды.

Қате нұсқаларды ажырату: B) H(0; 0; 4): x пен y өзгерту перпендикуляр бағытты бұзады.

C) H(3; 4; −1): Бұл нүкте z=4 жазықтығында жатпайды.

D) H(4; 2; −1): Бұл нүкте z=4 жазықтығында жатпайды.

E) H(3; 2; −4): Жазықтық z=−4 емес, z=4 болып берілген.

Қайта орындауға ишара: Жазықтыққа перпендикуляр бағытта қай координата ғана өзгереді?

Ереже: Бағыттаушы векторлары u және v болатын түзулердің кіші бұрышы үшін cosφ=|u·v|/(|u||v|). Модуль түзулер бұрышын 0°–90° аралығында таңдайды; векторлардың бағытын ауыстыру түзуді өзгертпейді.

Қолдану: Скаляр көбейтінді 1·0+0·1+1·1=1. Әр вектор ұзындығы √2, сондықтан cosφ=1/(√2·√2)=1/2. Қабылданған 0°–90° аралығында φ=60°; бағыттаушы векторды кері ауыстыру бұл нәтижені өзгертпейді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 30 °: cos30°=√3/2; есептегі нормаланған қатынас 1/2.

C) 45 °: cos45°=√2/2, ал есепте 1/2 шығады.

D) 90 °: Скаляр көбейтінді 1, нөл емес.

E) 120 °: Бұл кіші бұрыш емес; түзулер бұрышында модуль алынады.

Қайта орындауға ишара: Скаляр көбейтіндіні екі вектор ұзындығына да бөліңіз.