«Көпжақтар» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар

Ереже: Тікбұрышты параллелепипедтің кеңістік диагоналі d²=a²+b²+h² қатынасын қанағаттандырады. Бұл Пифагор теоремасын табанға және кеңістіктегі тікбұрышты үшбұрышқа кезекпен қолданудан шығады.

Қолдану: Табан диагоналі √(6²+8²)=10 см. Онымен және 24 см биіктікпен құрылған тікбұрышты үшбұрыштан кеңістік диагоналі √(10²+24²)=√676=26 см. Екі кезектескен Пифагор қадамы үш өлшемді біріктіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 10 см: Бұл табан диагоналі; биіктік ескерілмеген.

B) 24 см: Бұл бүйір қыр ғана; табандағы ығысу жоқ.

C) 38 см: Перпендикуляр кесінділердің ұзындықтарын жай қосуға болмайды.

E) 676 см: Бұл диагональ ұзындығының квадраты; соңында квадрат түбір алу қажет.

Қайта орындауға ишара: Алдымен табан диагоналін, кейін кеңістік диагоналін есептеңіз.

Ереже: Кубтың кеңістік диагоналі d=a√3, ал толық беті S=6a². Ауданға диагональ емес, осы диагональ арқылы табылған қыр ұзындығы қойылады.

Қолдану: Кубта d=a√3, сондықтан a=4 см. Бір жақ ауданы a²=16 см², ал алты жақтың қосындысы 6·16=96 см². Кеңістік диагоналі қырдан √3 есе ұзын, сондықтан оны тікелей аудан формуласына қоюға болмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 16 см²: Бұл бір шаршы жақ ауданы; алты жақты қосу қажет.

B) 48 см²: Кеңістік диагоналінің квадраты қырдың квадратымен шатастырылған.

C) 24 см²: Қыр ұзындығын алтыға көбейту аудан бермейді.

D) 288 см²: Диагональ квадратын бір жақ ауданы деп қате алған.

Қайта орындауға ишара: d=a√3 формуласынан қырды табыңыз.

Ереже: Көлбеу призманың бүйір бетінің ауданы Sб=Pперп·b. Мұндағы Pперп — бүйір қырларға перпендикуляр қиманың периметрі, b — бүйір қыр ұзындығы; оларды табан периметрі мен дене биіктігімен алмастыруға болмайды.

Қолдану: Көлбеу призма үшін бүйір аудан перпендикуляр қиманың периметрі мен бүйір қырдың көбейтіндісіне тең. Демек S=20·7=140 см². Мұнда табан периметрін пайдалану шартта жоқ басқа ұзындықты енгізер еді; берілген қима қырға перпендикуляр болғандықтан керекті ені береді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 70 см²: Призманың бүйір бетінде екіге бөлу жоқ; бұл пирамида формуласымен шатасу.

C) 27 см²: Ұзындықтарды қосу аудан бермейді.

D) 280 см²: Перпендикуляр қима периметрі екі рет есептелген.

E) 49 см²: Бүйір қырын квадраттау перпендикуляр қиманың периметрін ескермейді.

Қайта орындауға ишара: Қима периметрі мен бүйір қырдың көбейтіндісін алыңыз.

Ереже: n-бұрышты призманың екі табанында 2n төбе, 2n табан қыры және n бүйір қыр болады. Сондықтан төбелер саны 2n, қырлар саны 3n; бұлар әртүрлі элементтерді санайды.

Қолдану: n-бұрышты призманың төбе саны 2n=18, сондықтан n=9. Екі табанда 18 қыр, ал олардың сәйкес төбелерін қосатын 9 бүйір қыр бар. Барлығы 18+9=27; жақтар мен төбелер бұл есепте қыр санының орнына жүрмейді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 18: Бұл төбе саны; қырлар төбелерге бір-бірден сәйкес келмейді.

C) 9: Бұл табан қабырғаларының саны ғана.

D) 36: Әр төбеден шыққан қырларды екі рет санау дұрыс емес.

E) 11: Бұл екі табан мен тоғыз бүйір жақтың саны.

Қайта орындауға ишара: 2n бойынша n-ді табыңыз, содан кейін 3n қолданыңыз.

Ереже: Дұрыс төртбұрышты пирамиданың толық беті S=a²+2al. Апофема l үшін l²=h²+(a/2)²; бүйір үшбұрыштың биіктігі дененің биіктігіне тең емес.

Қолдану: Апофема √(12²+5²)=13 см, себебі табан центрінен қабырғаға дейін 5 см. Бүйір бет 4·10·13/2=260 см²; табан 10²=100 см². Толық бет 360 см², ал биіктік апофемадан бөлек кесінді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 260 см²: Бұл бүйір бет қана; шаршы табан қосылмаған.

B) 340 см²: Апофема орнына 12 см биіктік қолданылған.

D) 460 см²: Пирамидада бір табан бар; екі табан қосылған.

E) 620 см²: Үшбұрыш жақтар аудандарын есептегенде екіге бөлу ұмытылған.

Қайта орындауға ишара: Апофеманы таппай тұрып бүйір ауданға биіктікті қоймаңыз.