Дұрыс көпжақтар

Ереже: Дұрыс көпжақ анықтамасы жақтардың пішіні мен теңдігін және әр төбедегі бірдей құрылымды қатар талап етеді. Мұнда дөңестік те сақталады.

Қолдану: Тең дұрыс көпбұрышты жақтар жалғыз өзі жеткіліксіз: әр төбеде бірдей санды қыр түйісуі қажет. Осы талаптар бірге дененің барлық бөліктерінің біркелкі құрылымын сипаттайды. Жақтардың теңдігі олардың бірдей дұрыс көпбұрыш болуын білдіреді. Төбедегі қырлар санының бірдейлігі әр төбедегі орналасуды шектейді; бір ғана теңдік не симметрия белгісі осы екі талапты алмастырмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Тек барлық қырлары тең болуы жеткілікті: Қырлардың теңдігі жақтардың дұрыс көпбұрыш болуын және төбелердің біркелкі құрылымын қамтамасыз етпейді.

C) Тек екі жағы параллель болуы жеткілікті: Екі параллель жақ призмада да кездеседі; мұндай дененің жақтары әртүрлі пішінді болуы мүмкін.

D) Тек барлық жақтарының ауданы тең болуы жеткілікті: Аудандар тең болғанмен жақтардың пішіні мен бұрыштары әртүрлі болуы мүмкін.

E) Тек бір симметрия жазықтығы болуы жеткілікті: Бір симметрия жазықтығы теңбүйірлі пирамидада да бар; барлық жақтар мен төбелерді біркелкі етпейді.

Қайта орындауға ишара: Жақтардың қасиеті мен төбелердің қасиеті анықтамада бөлек берілгенін байқа.

Ереже: Дөңес дұрыс көпжақтар: тетраэдр, гексаэдр немесе куб, октаэдр, додекаэдр және икосаэдр. Олардың түрлері төбедегі бұрыштар қосындысының шектелуімен анықталады.

Қолдану: Теңқабырғалы үшбұрышты жақтар үш түр береді, шаршы жақтар бір түр, дұрыс бесбұрышты жақтар тағы бір түр береді. Барлығы 3+1+1=5 түр. Бір төбедегі жазық бұрыштар қосындысы 360°-тан кіші болуы керек. Үшбұрыштардан 3, 4 не 5 жақ, шаршылардан 3, бесбұрыштардан 3 жақ түйісе алады; осы бес мүмкіндік бес денені береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Шексіз көп: Жақтарды көбейту шексіз жалғаспайды; төбедегі бұрыштар қосындысына қойылған шек жаңа түрлерді тоқтатады.

B) 3: Үш түр тек үшбұрышты жақтардан шығады; куб пен додекаэдр қосылмаған.

D) 6: Алтыншы түр жоқ: алтыбұрышты үш жақтың өзі 360° береді, кеңістіктегі дөңес төбе шықпайды.

E) 4: Төрт түр бір денені түсіріп қалдырады; үшбұрышты үш түрге шаршы және бесбұрышты екі түр қосылады.

Қайта орындауға ишара: Жақ пішіндерін үшбұрыш, шаршы, бесбұрыш деп топтастыр.

Ереже: Додекаэдрдің он екі жағы дұрыс бесбұрыштар болады. Қалған дөңес дұрыс көпжақтар үшбұрышты немесе шаршы жақтардан құралады.

Қолдану: Шартта екі белгі қатар берілген: жақ саны 12 және жақтардың пішіні дұрыс бесбұрыш. Екеуі де додекаэдрге сәйкес келеді. Додекаэдрдің атауы он екі жақты денені білдіреді. Бесбұрышты жақ пішіні оны басқа дұрыс көпжақтардан бірден ажыратады; 12 саны икосаэдрдің төбелерімен шатастырылмауы керек.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Октаэдр: Октаэдрдің сегіз жағы бар және олар теңқабырғалы үшбұрыштар.

B) Икосаэдр: Икосаэдрдің 20 үшбұрышты жағы және 12 төбесі бар; төбе саны жақ санымен шатастырылған.

C) Тетраэдр: Тетраэдрдің төрт үшбұрышты жағы бар.

E) Гексаэдр: Гексаэдр — куб; оның алты жағы шаршылар болады.

Қайта орындауға ишара: Алдымен жақ пішінін, кейін олардың санын салыстыр.

Ереже: Икосаэдрдің бір төбесінде бес теңқабырғалы үшбұрышты жақ түйіседі. Әр жазық бұрыш 60°, сондықтан олардың қосындысы 300° болады.

Қолдану: Бес бұрыштың қосындысы 5·60°=300° және ол 360°-тан кіші. Бұл кеңістіктегі дөңес төбе құруға мүмкіндік береді және икосаэдрдің төбе құрылымына тән. Икосаэдрде бір төбеге тиесілі бес жақтың әрқайсысы сол төбеде 60° бұрыш береді. Бұл бес қырдың түйісуіне сәйкес келеді; барлық 20 жақты бір төбеде санауға болмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 3: Үш жақ бір төбеде дұрыс тетраэдрге тән, икосаэдрге емес.

B) 6: Алты 60° бұрыш 360° береді; бұл дөңес кеңістіктік төбе құра алмайды.

C) 4: Төрт жақ дұрыс октаэдрдің төбе құрылымына тән.

D) 10: Он үшбұрыштың бұрыштары 600° береді; дөңес төбедегі шектен асады.

Қайта орындауға ишара: Үшбұрышты жақтары бар үш дұрыс көпжақтың төбелеріндегі жақтар санын ажырат.

Ереже: Көпжақтың жақтарындағы қабырғаларды қосқанда әр қыр екі рет саналады. Сондықтан үшбұрышты жақтар үшін қыр саны E=3F÷2.

Қолдану: Сегіз үшбұрышта барлығы 8·3=24 қабырға орны бар. Әр нақты қыр екі жаққа ортақ болғандықтан E=24÷2=12. Жақтар бойынша 24 қабырға орны саналса да, екі көршілес жақтың ортақ қабырғасы бір нақты қыр болады. Сол себепті қабырға орындарының санын екіге бөліп, қайталануды жоямыз.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 6: 24÷4=6; әр қыр төрт рет емес, шарт бойынша екі рет саналады.

C) 24: 24 саны үшбұрыш қабырғаларын қайталап санайды; ортақ қырларды біріктіру үшін екіге бөлу керек.

D) 16: 8·2=16; әр үшбұрышта екі емес, үш қабырға бар.

E) 8: 8 — жақтар саны; қырлар саны оған тең емес.

Қайта орындауға ишара: Қабырғалар санағында бір нақты қыр неше рет кездеседі?