Түзу мен жазықтықтың, екі жазықтықтың арасындағы бұрыш

Ереже: Түзу мен жазықтық арасындағы φ бұрышы үшін sin φ = |u·n|/(|u|·|n|), мұндағы u — түзудің бағыттаушы, n — жазықтықтың нормаль векторы. Бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады.

Қолдану: z = 0 жазықтығының нормалі n = (0; 0; 1). Скаляр көбейтінді 1, ұзындықтар √2 және 1. Сондықтан sin φ = 1/√2 = √2/2, осыдан φ = 45°. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 0°: Бұл нұсқа sinφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°; түзу нормальға да, жазықтыққа да параллель емес. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

B) 90°: Бұл нұсқа sinφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°; түзу нормальға да, жазықтыққа да параллель емес. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 30°: Бұл нұсқа sinφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°; түзу нормальға да, жазықтыққа да параллель емес. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 60°: Бұл нұсқа sinφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. φ=45°; түзу нормальға да, жазықтыққа да параллель емес. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Жазықтық теңдеуінен нормальді оқып, бұл жағдайда қатынас синусқа тең екенін ескеріңіз.

Ереже: Түзу мен жазықтық арасындағы φ бұрышы үшін sin φ = |u·n|/(|u|·|n|), мұндағы u — түзудің бағыттаушы, n — жазықтықтың нормаль векторы. Бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады.

Қолдану: Нормаль n = (0; 0; 1), u·n = 1, |u| = √3. Сондықтан sin φ = 1/√3 = √3/3. Ізделінді бұрыш φ = arcsin(√3/3), шамамен 35,26° болады. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 60°: Бұл нұсқа sinφ=1/√3=√3/3 шартына сәйкес келмейді. Синустың кері функциясын қолдану қажет; нормальмен бұрыш оған толықтауыш. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) arccos(√3/3): Бұл нұсқа sinφ=1/√3=√3/3 шартына сәйкес келмейді. Синустың кері функциясын қолдану қажет; нормальмен бұрыш оған толықтауыш. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 30°: Бұл нұсқа sinφ=1/√3=√3/3 шартына сәйкес келмейді. Синустың кері функциясын қолдану қажет; нормальмен бұрыш оған толықтауыш. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 45°: Бұл нұсқа sinφ=1/√3=√3/3 шартына сәйкес келмейді. Синустың кері функциясын қолдану қажет; нормальмен бұрыш оған толықтауыш. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Түзу–нормаль бұрышы мен түзу–жазықтық бұрышының қосындысы 90° болатынын қолданыңыз.

Ереже: Түзу мен жазықтық арасындағы φ бұрышы үшін sin φ = |u·n|/(|u|·|n|), мұндағы u — түзудің бағыттаушы, n — жазықтықтың нормаль векторы. Бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады.

Қолдану: Жазықтық нормалі n = (1; 1; 1). u·n = 1 − 1 + 0 = 0, сондықтан sin φ = 0 және φ = 0°. Түзудің бағыты жазықтыққа параллель; оның жазықтықта жататынын анықтау үшін қосымша нүкте керек. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 30°: Бұл нұсқа u·n=0 шартына сәйкес келмейді. sinφ=0, сондықтан φ=0°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

B) 45°: Бұл нұсқа u·n=0 шартына сәйкес келмейді. sinφ=0, сондықтан φ=0°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 60°: Бұл нұсқа u·n=0 шартына сәйкес келмейді. sinφ=0, сондықтан φ=0°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 90°: Бұл нұсқа u·n=0 шартына сәйкес келмейді. sinφ=0, сондықтан φ=0°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Бағыт пен нормальдің скаляр көбейтіндісі нөл болса, түзу жазықтықпен қандай бұрыш жасайтынын ойланыңыз.

Ереже: Түзу мен жазықтық арасындағы φ бұрышы үшін sin φ = |u·n|/(|u|·|n|), мұндағы u — түзудің бағыттаушы, n — жазықтықтың нормаль векторы. Бұрыш 0° пен 90° аралығында алынады.

Қолдану: Нормаль вектор n = (2; −1; 2) түзудің бағыттаушы векторына тең. Сондықтан түзу жазықтыққа перпендикуляр. Формуламен де sin φ = 9/(3·3) = 1, бұдан φ = 90° шығады. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 0°: Бұл нұсқа u=n шартына сәйкес келмейді. Түзу нормаль бойымен бағытталған; φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

B) 45°: Бұл нұсқа u=n шартына сәйкес келмейді. Түзу нормаль бойымен бағытталған; φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 60°: Бұл нұсқа u=n шартына сәйкес келмейді. Түзу нормаль бойымен бағытталған; φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 30°: Бұл нұсқа u=n шартына сәйкес келмейді. Түзу нормаль бойымен бағытталған; φ=90°. Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Түзудің бағытын жазықтық нормалімен салыстырыңыз; коллинеарлық бұл жұпта тік бұрыш береді.

Ереже: Екі жазықтық арасындағы φ бұрышы олардың нормаль векторлары арқылы табылады: cos φ = |n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|). Модуль кіші, яғни 90°-тан аспайтын бұрышты таңдауды қамтамасыз етеді.

Қолдану: Нормальдар n₁ = (1; 0; 0), n₂ = (1; 1; 0). Олардың скаляр көбейтіндісі 1, ұзындықтары 1 және √2. Сондықтан cos φ = 1/√2, ізделінді бұрыш 45°. Соңғы мәнді бастапқы векторлық қатынасқа қайта қою керек. Нүктелердің орналасуы мен бағытты ажырату есепте қандай деректер бұрышқа әсер ететінін түсіндіреді; нормалау барлық бағыттаушы векторларды бірдей ұзындыққа келтіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 0°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. Жазықтықтардың нормальдары (1;0;0) және (1;1;0). Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

C) 30°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. Жазықтықтардың нормальдары (1;0;0) және (1;1;0). Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

D) 90°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. Жазықтықтардың нормальдары (1;0;0) және (1;1;0). Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

E) 60°: Бұл нұсқа cosφ=1/√2 шартына сәйкес келмейді. Жазықтықтардың нормальдары (1;0;0) және (1;1;0). Ұсынылған мәнді негізгі қатынасқа қайта қою оның шартты орындамайтынын көрсетеді.

Қайта орындауға ишара: Әр жазықтық үшін x, y, z коэффициенттерінен жеке нормаль вектор жазыңыз.