Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық

Ереже: M(x₀; y₀; z₀) нүктесінен ax + by + cz + d = 0 жазықтығына дейінгі қашықтық |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) формуласымен табылады.

Қолдану: Нүктенің координаталарын қойсақ, алым |4 + 1 + 6 − 3| = 8 болады. Нормаль вектордың ұзындығы √(4 + 1 + 4) = 3, сондықтан қашықтық 8/3-ке тең. Жазықтықтың коэффициенттерін бірдей нөлден өзге санға көбейткенде алым мен бөлім сол санның модуліне көбейіп, қатынас өзгермейді. Бұл қашықтықтың жазылу тәсіліне тәуелсіз екенін тексереді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 8/9: Нормаль ұзындығы 3, оның квадраты 9 емес; бөлімде түбір алынбай қалған.

C) −8/3: Қашықтық теріс болмайды; алымның модулі алынуы керек.

D) 3: Бұл нормальдің ұзындығы ғана, ал алым 8-ге тең.

E) 8: Бұл тек алым, оны нормаль ұзындығына бөлу қажет.

Қайта орындауға ишара: Алымға нүктенің координаталарын, бөлімге жазықтық коэффициенттерінің квадраттарын қойыңыз.

Ереже: M(x₀; y₀; z₀) нүктесінен ax + by + cz + d = 0 жазықтығына дейінгі қашықтық |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) формуласымен табылады.

Қолдану: Координаталар басында x, y және z нөлге тең, сондықтан алым |−20| = 20. Бөлім √(3² + 4² + 0²) = 5. Осы екі шаманың қатынасы 20/5 = 4 болады. Жазықтықтың коэффициенттерін бірдей нөлден өзге санға көбейткенде алым мен бөлім сол санның модуліне көбейіп, қатынас өзгермейді. Бұл қашықтықтың жазылу тәсіліне тәуелсіз екенін тексереді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 20: 20 — тұрақты мүшенің модулі; 5-ке бөлу жасалмаған.

B) 5: 5 — нормаль ұзындығы, қашықтық емес.

C) 4/5: Бөлімде 25 алынған; коэффициенттер квадраттарының қосындысынан түбір алу керек.

E) −4: Модуль алынбаған; геометриялық қашықтық оң.

Қайта орындауға ишара: Координаталар басы үшін алымда жазықтықтың тұрақты мүшесі ғана қалады.

Ереже: M(x₀; y₀; z₀) нүктесінен ax + by + cz + d = 0 жазықтығына дейінгі қашықтық |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) формуласымен табылады.

Қолдану: Координаталарды орнына қойғанда 1 + 2·2 + 2·3 − 11 = 0 шығады. Демек, нүкте жазықтықтың өзінде жатыр. Нөлді нормаль ұзындығына бөлсек те нөл болады: ізделінді қашықтық 0. Жазықтықтың коэффициенттерін бірдей нөлден өзге санға көбейткенде алым мен бөлім сол санның модуліне көбейіп, қатынас өзгермейді. Бұл қашықтықтың жазылу тәсіліне тәуелсіз екенін тексереді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 11/3: Нүктенің координаталары ескерілмеген; олар тұрақты мүшені дәл жояды.

B) 3: 3 — нормаль ұзындығы ғана; алым нөл.

D) 22/3: Тұрақты мүшенің теріс таңбасы жоғалған; теңдеудің сол жағы нөл.

E) 1: Жазықтықта жатқан нүктеден оған дейінгі қашықтық нөл, бір емес.

Қайта орындауға ишара: Алдымен нүктенің координаталары жазықтық теңдеуін қанағаттандыра ма, соны тексеріңіз.

Ереже: M(x₀; y₀; z₀) нүктесінен ax + by + cz + d = 0 жазықтығына дейінгі қашықтық |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) формуласымен табылады.

Қолдану: Алымдағы өрнек 2·(−1) − 2 + 2·0 − 2 = −6 болады. Оның модулі 6-ға тең. Нормаль ұзындығы √(4 + 1 + 4) = 3, сондықтан қашықтық 6/3 = 2. Жазықтықтың коэффициенттерін бірдей нөлден өзге санға көбейткенде алым мен бөлім сол санның модуліне көбейіп, қатынас өзгермейді. Бұл қашықтықтың жазылу тәсіліне тәуелсіз екенін тексереді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 3: 3 — нормаль ұзындығы ғана; алымның модулі 6.

B) −2: Алымның модулі алынбаған, қашықтық теріс шыққан.

C) 2/3: Бөлімде 9 қолданылған; нормаль ұзындығы 3.

D) 6: 6 — алымның модулі; оны 3-ке бөлу керек.

Қайта орындауға ишара: Теріс координатаны жақшаға алып, бүкіл алымға модуль қолданыңыз.

Ереже: M(x₀; y₀; z₀) нүктесінен ax + by + cz + d = 0 жазықтығына дейінгі қашықтық |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²) формуласымен табылады.

Қолдану: Жазықтықты z − 2 = 0 түрінде жазамыз: нормалі (0; 0; 1). Қашықтық |8 − 2|/1 = 6. Бұл жазықтық xOy жазықтығына параллель болғандықтан, тек z координаталарының айырмасы есепке алынады. Жазықтықтың коэффициенттерін бірдей нөлден өзге санға көбейткенде алым мен бөлім сол санның модуліне көбейіп, қатынас өзгермейді. Бұл қашықтықтың жазылу тәсіліне тәуелсіз екенін тексереді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 8: 8 — z=0 жазықтығына дейінгі қашықтық; берілген жазықтық z=2.

C) 2: 2 — жазықтық деңгейі, нүкте мен жазықтықтың аралығы емес.

D) √89: Бұл нүктеден координаталар басына дейінгі ұзындық; жазықтыққа параллель координаталар қажет емес.

E) 10: 8 бен 2 қосылған; арақашықтықта олардың айырмасының модулі алынады.

Қайта орындауға ишара: Жазықтықтың қай координатасы тұрақты екенін анықтап, сол координата бойынша айырманы алыңыз.