Конус бетінің ауданы

Ереже: Конустың бүйір бет ауданы табан шеңбері ұзындығының жартысы мен жасаушының көбейтіндісіне тең: Sб=πRl.

Қолдану: R=3 см және l=5 см болғандықтан Sб=π·3·5=15π см². Биіктікті қосымша табу қажет емес, өйткені формулада жасаушы тікелей берілген. Жасаушы бүйір беттің көлбеу ұзындығын көрсетеді, ал радиус табан шеңберін анықтайды. Жазба сектордың доғасы 2πR болғандықтан оның ауданы доға мен сектор радиусының көбейтіндісінің жартысы, яғни πRl болады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 25π см²: 25π=π·5² жасаушы радиусы бар толық дөңгелек ауданын алады; жазба толық дөңгелек емес, сектор.

C) 30π см²: 30π=2π·3·5; конус бүйір бетіне цилиндр формуласы қолданылған.

D) 24π см²: 24π — бүйір 15π мен табан 9π қосындысы; бұл толық бет.

E) 9π см²: 9π — тек табан ауданы; бүйір бет есептелмеген.

Қайта орындауға ишара: Сұралған бетке табан кіре ме?

Ереже: Бүйір бет формуласы Sб=πRl жасаушыны талап етеді. Биіктік берілгенде алдымен l=√(R²+h²) арқылы жасаушы табылады.

Қолдану: l=√(25+144)=13 см. Сондықтан Sб=π·5·13=65π см². Биіктік пен жасаушының әртүрлі кесінділер екенін осы есеп көрсетеді. Конус биіктігі ось бойымен, жасаушы бүйір бет бойымен өлшенеді. Жасаушы 5 см радиус пен 12 см биіктікке салынған гипотенуза, сондықтан бүйір аудан формуласына 13 см қойылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 90π см²: 65π+25π=90π; табан қосылып, толық бет табылған.

C) 60π см²: π·5·12=60π; жасаушының орнына дененің биіктігі қолданылған.

D) 25π см²: 25π — бір дөңгелек табан ауданы; бүйір аудан емес.

E) 130π см²: 2π·5·13=130π; цилиндрдегі екі көбейткіші конусқа артық енгізілген.

Қайта орындауға ишара: Бүйір бет бойындағы көлбеу кесіндінің ұзындығын алдымен есепте.

Ереже: Конустың толық беті бүйір бет пен жалғыз дөңгелек табаннан тұрады. Сондықтан Sт=πRl+πR²=πR(l+R).

Қолдану: Бүйір бет 20π см², табан ауданы 16π см². Екеуін қосқанда 36π см² шығады. Конус биіктігі нақты болуы үшін l>R шарты да орындалады. Конус төбемен аяқталатындықтан цилиндрдегідей екінші табаны жоқ. Бүйір сектордың 20π см² ауданы мен жалғыз дөңгелектің 16π см² ауданы тұйық бетті түгел құрайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 52π см²: 20π+2·16π=52π; жалғыз табан екі рет қосылған.

B) 40π см²: 40π бүйір ауданды екі еселейді; табанды бөлек қосатын толық бет формуласын бермейді.

D) 16π см²: 16π — тек табан ауданы; бүйір сектор жоқ.

E) 20π см²: 20π — тек бүйір бет; табан қосылмаған.

Қайта орындауға ишара: Конус бетінің қандай екі бөлігі бар?

Ереже: Диаметр берілгенде радиус оның жартысы болады. Жасаушы радиус пен биіктіктен Пифагор теоремасымен, толық бет πR(l+R) формуласымен табылады.

Қолдану: R=3 см, l=√(3²+4²)=5 см. Сондықтан Sт=π·3·(5+3)=24π см². Бұл бір бүйір бет пен бір табанның қосындысы. Диаметрді екіге бөлу радиусты береді; тек содан кейін Пифагор теоремасында 3 және 4 см катеттер қолданылады. Толық бетке табан бір рет қосылады, сондықтан екі табанды цилиндрмен шатастырмау қажет.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 33π см²: 15π+2·9π=33π; конустың жалғыз табаны екі рет қосылған.

B) 15π см²: 15π — тек бүйір бет; 9π табан қосылмаған.

C) 48π см²: 48π дұрыс толық бетті екі рет санайды; сыртқы бет бір рет есептеледі.

E) 9π см²: 9π — тек табан ауданы; бүйір бет жоқ.

Қайта орындауға ишара: Алдымен диаметрден радиусқа өт.

Ереже: Sб=πRl теңдігінен белгісіз жасаушы l=Sб÷(πR) болады. Аудан табан шеңберінің жарты ұзындығына бөлінеді.

Қолдану: l=48π÷(6π)=8 см. Ол R=6 см-ден үлкен болғандықтан оң биіктігі бар конус құралады; есептің шарты геометриялық тұрғыдан мүмкін. Жасаушыны тапқанда π екі жақта қысқарады: 48=6l. Табылған 8 см жасаушыны формулаға қайта қойсақ 6π·8=48π ауданы шығады; оң биіктік үшін l>R шарты орындалады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 12 см: 12 см берілген радиустың екі есесі; теңқабырғалы конус деп шартта айтылмаған.

B) 6 см: 6 см жасаушыны радиусқа теңестіреді; онда биіктік нөл болып, бүйір аудан 36π ғана шығар еді.

C) 4 см: 4 см аудан 2πR-ге бөлінгенде шығады; конус үшін бөлім πR болуы керек.

D) 16 см: 16 см радиус 6 см орнына оның жартысы 3 см қолданылғанда шығады.

Қайта орындауға ишара: Формуланы l-ге қатысты шешіп, l>R шартын тексер.