Конус және оның элементтері. Конустың жазықтықпен қимасы

Ереже: Тікбұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда сол катет конус биіктігін, екінші катет радиусын, ал гипотенуза жасаушысын береді.

Қолдану: Айналу осі ретінде 8 см катет алынғандықтан h=8 см. Оське перпендикуляр 6 см катет дөңгелек сызады, сондықтан R=6 см. Айналу осіндегі катет дене бойымен өзгермей қалады, ал екінші катет табан дөңгелегінің радиусын сызады. Гипотенуза √(6²+8²)=10 см болса да ол жасаушы, радиус не биіктік емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) R=10 см; h=8 см: 10 см — гипотенуза және конус жасаушысы; табан радиусы 6 см.

B) R=3 см; h=8 см: 6 см катет радиус береді; оны диаметр деп екіге бөлу қате.

C) R=6 см; h=10 см: 10 см жасаушы биіктік деп алынған; биіктік осьтегі 8 см катет.

D) R=8 см; h=6 см: Радиус пен биіктік орындары ауыстырылған; айналу осі 8 см катет деп берілген.

Қайта орындауға ишара: Үшбұрыштың қай қабырғасы айналу осінде жатыр?

Ереже: Тік дөңгелек конустың радиусы, биіктігі және жасаушысы тікбұрышты үшбұрыш құрайды. Жасаушы гипотенуза болғандықтан l²=R²+h².

Қолдану: l=√(6²+8²)=√100=10 см. Бұл радиустан да, биіктіктен де үлкен, сондықтан гипотенузаның қасиеті сақталған. Жасаушы төбеден табан шеңберінің нүктесіне жүргізіледі. Биіктік табан центріне түседі, ал радиус сол центр мен шеңбер нүктесін қосады; сондықтан 6 және 8 см катеттердің квадраттары қосылады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) √28 см: √28=√(8²−6²); белгісіз жасаушы гипотенуза болғандықтан квадраттар азайтылмайды.

C) 14 см: 6+8=14; перпендикуляр катеттердің қосындысы гипотенуза ұзындығын бермейді.

D) 7 см: (6+8)÷2=7; катеттердің орташа мәні жасаушы емес.

E) 100 см: 100 — жасаушының квадраты; ұзындықты алу үшін квадрат түбір қажет.

Қайта орындауға ишара: Осьтік қиманың жартысын тікбұрышты үшбұрыш ретінде қарастыр.

Ереже: Конус жасаушысы биіктік пен радиусқа қатысты гипотенуза болады. Сондықтан белгісіз биіктік h=√(l²−R²) формуласымен табылады.

Қолдану: h²=13²−5²=169−25=144. Биіктік оң болғандықтан h=12 см. Радиус пен биіктіктің квадраттары қайта қосылғанда 169 шығады. 13 см жасаушы ең үлкен қабырға, сондықтан оның квадратынан радиус квадраты алынады. Алынған 12 см биіктік жасаушыдан кіші және 12²+5²=13² тексеруін қанағаттандырады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) √194 см: √194=√(13²+5²); гипотенузаға тағы катет қосылып, нәтиже жасаушыдан да үлкен болады.

C) 18 см: 13+5=18; биіктік гипотенузадан үлкен бола алмайды және ұзындықтар қосындысынан табылмайды.

D) 8 см: 13−5=8; Пифагор теоремасында ұзындықтар емес, олардың квадраттары азайтылады.

E) 144 см: 144 — биіктіктің квадраты; соңғы квадрат түбір алынбаған.

Қайта орындауға ишара: Берілген ұзындықтардың қайсысы гипотенуза екенін анықта.

Ереже: Радиус конус биіктігімен бірге тікбұрышты үшбұрыштың катетін құрайды. Пифагор теоремасынан R²=l²−h² шығады.

Қолдану: R²=25²−7²=625−49=576. Осыдан R=24 см. Диаметр емес, радиус сұралғандықтан алынған ұзындықты қайта екіге бөлу қажет емес. Жасаушы ең үлкен қабырға ретінде 25 см, биіктік 7 см катет болады. Екінші катет табан центрінен шеңберге дейінгі кесінді болғандықтан дәл радиус табылады; оның екі есесі диаметр болар еді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) √674 см: √674=√(25²+7²); белгісіз катетті табуда квадраттар айырмасы керек.

B) 12 см: 12 см табылған 24 см радиусты диаметр деп қайта екіге бөлуден шығады.

D) 32 см: 25+7=32; радиус жасаушыдан да үлкен болар еді, бұл тікбұрышты үшбұрышта мүмкін емес.

E) 18 см: 25−7=18; тікбұрышты үшбұрышта квадраттар айырмасынан түбір алынады.

Қайта орындауға ишара: Белгісіз катетті оның квадраты арқылы тап.

Ереже: Конустың осьтік қимасы — табаны 2R, биіктігі h болатын теңбүйірлі үшбұрыш. Оның ауданы S=(2R)h÷2=Rh.

Қолдану: Қима табаны 8 см, биіктігі 9 см. Сондықтан S=8·9÷2=36 см². Қима жазық үшбұрыш болғандықтан π қолданылмайды. Осьтік жазықтық төбе мен табан центрінен өтеді, сондықтан табаннан толық диаметрді кесіп алады. Үшбұрыштың биіктігі конус биіктігімен бірдей; толық диаметрдегі екі көбейткіші аудан формуласындағы жартымен қысқарады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 16π см²: 16π — дөңгелек табан ауданы; осьтік қима үшбұрыш болады.

B) 72 см²: 8·9=72; үшбұрыш ауданының жарты коэффициенті ұмытылған.

C) 81 см²: 9²=81; биіктік квадратталып, табанның 8 см өлшемі қолданылмаған.

E) 18 см²: 4·9÷2=18; үшбұрыш табаны диаметрдің орнына радиус деп алынған.

Қайта орындауға ишара: Үшбұрыштың толық табаны радиусқа ма, диаметрге ме тең?