Мектеп геометриясы курсын қайталау Планиметрия

Ереже: Тікбұрышты үшбұрышта гипотенуза квадраты екі катет квадраттарының қосындысына тең. Гипотенуза тік бұрышқа қарсы жатады және әр катеттен ұзын. Пифагор теоремасы ұзындықтарды жай қосуға емес, квадраттарын қосуға негізделеді. Соңында оң түбір алынады.

Шешу жолы: c²=15²+20²=225+400=625. Сондықтан c=25 см. Тексеру: 25>20>15; гипотенуза ең ұзын қабырға. Бұл 3:4:5 қатынасының 5 есе үлкейтілген түрі.

Жиі кездесетін қате: B) 35 см: екі катетті жай қосқан.

C) 5 см: катеттер айырмасын гипотенуза деп алған.

D) 20 см: үлкен катетті гипотенузамен шатастырған.

E) 625 см: гипотенуза квадратының түбірін алмаған.

Қайта орындауға ишара: Екі катетті квадраттап қосыңыз, содан кейін түбір алыңыз.

Ереже: Үшбұрыш ауданы S=bh/2, мұнда h — таңдалған табанға перпендикуляр түсірілген биіктік. Табанға түсірілген биіктік берілгенде басқа қабырғаларды білу қажет емес. Қиғаш қабырғаны биіктік деп алу дұрыс емес. Аудан ұзындықтардың көбейтіндісінен шығады және квадрат бірлікпен өлшенеді.

Шешу жолы: S=10·3/2=30/2=15 см². Биіктік дәл осы 10 см табанға түсірілген, сондықтан формуланың екі шамасы бір жұпты құрайды. 1/2 коэффициенті үшбұрыштың сол табан мен биіктіктегі параллелограмның жартысы екенін ескереді.

Жиі кездесетін қате: A) 30 см²: үшбұрыш ауданының 1/2 коэффициентін түсірген.

B) 15/2 см²: екіге бөлуді екі рет орындаған.

C) 13 см²: табан мен биіктікті жай қосқан.

D) 100 см²: табанды квадраттап, берілген биіктікті қолданбаған.

Қайта орындауға ишара: Берілген биіктіктің қай табанға түсірілгенін тексеріп, көбейтіндіні екіге бөліңіз.

Ереже: Трапеция ауданы S=(b₁+b₂)h/2: екі параллель табанның орташа ұзындығы биіктікке көбейтіледі. Биіктік табандар арасындағы перпендикуляр қашықтық, бүйір қабырға емес. Табандардың айырмасы орта сызық ұзындығын бермейді; олардың қосындысының жартысы қажет.

Шешу жолы: Орта сызық m=(5+7)/2=6 см. Аудан S=6·3=18 см². 15<S<21, яғни аудан екі табанның әрқайсысын 3-ке көбейткен мәндердің арасында жатыр. Бұл орташа табан формуласын растайды.

Жиі кездесетін қате: A) 36 см²: табандар қосындысын биіктікке көбейтіп, екіге бөлмеген.

C) 3 см²: табандар қосындысы орнына айырмасын алған.

D) 15 см²: кіші табанды ғана қолданып, трапецияны тіктөртбұрыш деп есептеген.

E) 21 см²: үлкен табанды ғана алып, кіші табанды ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Екі параллель табанның орташа мәнін биіктікке көбейтіңіз.

Ереже: Дөңгелек ауданы S=πr². Шеңбер — оның шекарасы, ұзындығы 2πr, ал аудан осы шекараның ішіндегі жазық бөлікті сипаттайды. r радиус болғандықтан диаметрге ауыстыру қажет емес. S=kπ түрінде k радиус квадратына тең болады.

Шешу жолы: r=5 см, сондықтан S=π·5²=25π см² және k=25. Бұл аудан; шеңбер ұзындығынан табылатын 10 коэффициенті басқа шаманы сипаттайды. Радиус сантиметрмен берілгендіктен аудан см²-пен өлшенеді.

Жиі кездесетін қате: B) 5: радиусты квадраттамаған.

C) 10: аудан орнына шеңбер ұзындығының π коэффициентін есептеген.

D) 100: радиус орнына диаметрді қолданған.

E) 50: бір дөңгелектің ауданын негізсіз екі еселеген.

Қайта орындауға ишара: Дөңгелек ауданын шеңбер ұзындығымен шатастырмай, радиусты квадраттаңыз.

Ереже: Ұқсас жазық фигуралардың сәйкес қабырғалары k есе өзгерсе, аудандары k² есе өзгереді. Бұл үшбұрыштың табаны да, сәйкес биіктігі де k есе өзгеретіндіктен шығады. Үшінші дәрежелі қатынас кеңістіктегі көлемге арналған. Қай ауданның қай ауданға қатынасы сұралғанын анықтау қажет.

Шешу жолы: Үлкен үшбұрышқа ұзындықтар коэффициенті k=5/1=5. Сондықтан S_үлкен/S_кіші=5²=25. Бұл сан 1-ден үлкен, үлкен фигураның ауданы көбірек екенін көрсетеді. Кері қатынас 1/25 болар еді, бірақ ол сұралмаған.

Жиі кездесетін қате: A) 5: аудандарға ұзындықтар қатынасын бірінші дәрежеде қолданған.

B) 125: көлемдердің ұқсастық ережесін жазық үшбұрыш ауданына қолданған.

C) 1/25: үлкен ауданның кішіге қатынасын кері алған.

E) 10: қатынас квадратын екі еселеумен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Ұзындықтар қатынасын квадраттап, үлкен ауданның кішіге қатынасын алыңыз.