10 сыныптағы геометрия курсын қайталау

Ереже: Жазықтыққа перпендикуляр түзу оның табаны арқылы өтетін жазықтықтағы әр түзуге перпендикуляр. Сондықтан перпендикуляр, көлбеу және оның проекциясы тікбұрышты үшбұрыш құрайды. Көлбеу — гипотенуза; Пифагор теоремасы бойынша катеттің квадраты гипотенуза квадраты мен екінші катет квадратының айырмасына тең.

Шешу жолы: AB⊥BC. Осыдан BC²=AC²−AB²=25²−15²=625−225=400. Ұзындық оң болғандықтан BC=20 см. Тексеру: 225+400=625; проекция 20 см көлбеу 25 см-ден қысқа. Теріс квадрат түбір кесінді ұзындығы бола алмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 10 см: гипотенуза мен катеттің ұзындықтарын жай азайтқан; квадраттардың айырмасы қажет.

B) 40 см: кесінділерді қосқан, тік бұрыш шартын қолданбаған.

C) 15 см: проекцияның орнына перпендикуляр ұзындығын берген.

E) 25 см: проекцияны көлбеудің өзімен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен үшбұрыштың гипотенузасын анықтаңыз, содан кейін белгісіз катеттің квадратын шығарыңыз.

Ереже: Кесіндінің екі ұшы жазықтықтың бір жағында жатса, орта нүктенің жазықтыққа дейінгі қашықтығы ұштарының қашықтықтарының арифметикалық ортасына тең. Себебі бір бағытпен өлшенген перпендикуляр координата кесінді бойында сызықты өзгереді. Әртүрлі жақтарда жатқанда таңбалы қашықтықтар қолданылады; бұл шартта екеуі де бір таңбалы.

Шешу жолы: Бір жақта жатқан A және B үшін h_M=(h_A+h_B)/2=(5+9)/2=14/2=7 см. 7 саны 5 мен 9 аралығында және екі ұштың қашықтығынан да 2 см-ге өзгеше. Сондықтан бұл орта нүктеге сәйкес мән.

Жиі кездесетін қате: B) 14 см: екі қашықтықты қосып, орта нүкте үшін екіге бөлмеген.

C) 2 см: қашықтықтардың жарты айырмасын алған; нүктелер жазықтықтың бір жағында.

D) 5 см: бірінші ұштың қашықтығын бүкіл кесіндіге қолданған.

E) 9 см: екінші ұштың қашықтығын орта нүктеге көшірген.

Қайта орындауға ишара: Ұштар бір жақта жатқанын тексеріп, екі қашықтықтың орташа мәнін табыңыз.

Ереже: Векторлардың скаляр көбейтіндісі сәйкес координаталар көбейтінділерінің қосындысына тең: u·v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z. Бұл амалдың нәтижесі вектор емес, сан болады. Сәйкес емес координаталарды көбейтуге немесе барлық координаталарды жай қосуға болмайды. Нөлдік координаталарға сәйкес көбейтінді нөлге тең.

Шешу жолы: u·v=5·3+2·1+0·0=15+2=17. Мұнда бірінші жұп 15, екінші жұп 2, үшінші жұп 0 береді. Екі вектордың берілген оң координаталары бойынша қосынды оң; бағытты кері ауыстыру шартта жоқ.

Жиі кездесетін қате: A) 15: екінші координаталардың 2·1 көбейтіндісін түсіріп тастаған.

B) 11: сәйкес емес координаталарды айқастырып көбейткен.

D) 10: вектор координаталарының бәрін қосқан; скаляр көбейтіндіде жұптарды көбейту керек.

E) -17: бағыт өзгермесе де дұрыс қосындыға теріс таңба қойған.

Қайта орындауға ишара: x координатасын x-пен, y-ті y-пен, z-ті z-пен көбейтіп, нәтижелерді қосыңыз.

Ереже: Жазық көпбұрыштың ортогональ проекциясының ауданы S_пр=S·|cosφ| формуласымен табылады, мұнда φ — бастапқы және проекция жазықтықтары арасындағы бұрыш. Ортогональ проекция ұзындықтардың бір бағытын қысқартады, сондықтан оның ауданы бастапқы ауданнан артық болмайды. 60° үшін косинус 1/2-ге тең.

Шешу жолы: S_пр=10·cos60°=10·1/2=5 см². Бұрыш нөл де, тік те емес, сондықтан аудан бастапқы 10 см²-ден кіші және нөлден үлкен. Ауданның өлшем бірлігі см² болып сақталады.

Жиі кездесетін қате: A) 10 см²: проекция кезінде аудан өзгермейді деп алған; жазықтықтар параллель емес.

B) 20 см²: cos60°-қа көбейтудің орнына бөлген.

C) 0 см²: 60° бұрышын 90°-пен шатастырып, проекцияны кесінді деп алған.

D) 5√3 см²: cos60° орнына sin60° қолданған.

Қайта орындауға ишара: Жазықтықтар арасындағы бұрыштың косинусын қолданыңыз; проекцияның үлкен болып кетпеуін тексеріңіз.

Ереже: Кеңістіктегі екі нүктенің арақашықтығы координата айырмалары квадраттарының қосындысынан алынған оң түбірге тең. Бұл Пифагор теоремасын екі рет қолданудан шығады. Үш координатаның бәрі ескеріледі; тек бір координата айырмасы немесе квадраттар қосындысының өзі қашықтық болмайды.

Шешу жолы: AB=√((15−0)²+(20−0)²+(60−0)²)=√(225+400+3600)=√4225=65. Алғашқы екі координата бойынша қашықтық 25; оған үшінші бағыттағы 60 қосылғанда тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 65 болады.

Жиі кездесетін қате: A) 60: z координатасының айырмасын толық кеңістік қашықтығы деп алған.

B) 25: тек x пен y бойынша жазық қашықтықты тауып, z-ті ескермеген.

D) 95: координата айырмаларын жай қосқан; квадраттар қосындысы қажет.

E) 4225: қашықтық квадратын тауып, түбір алмаған.

Қайта орындауға ишара: Үш координата айырмасының квадратын қосып, соңында оң квадрат түбір алыңыз.