y″−16y=0 теңдеуінің жалпы шешімін таңдаңыз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: Сипаттамалық теңдеу r²−16=0, түбірлері r=±4. Сондықтан y=C₁e^(4x)+C₂e^(−4x). Әр көрсеткіштік мүшенің екінші туындысы өзінен 16 есе үлкен, сондықтан бастапқы теңдеудің сол жағы нөл болады.

Жиі кездесетін қате: A) y=C₁+C₂x: екінші туынды нөл болғанымен, y мүшесі жалпы жағдайда нөл емес.

B) y=C₁e^(16x)+C₂: сипаттамалық түбірді 16 деп алған және тұрақты мүшені шешім санаған.

C) y=C₁x^4+C₂: дәрежелік шешімді таңдаған; оның екінші туындысы тұрақты коэффициентпен бастапқы функцияға тең емес.

E) y=C₁cos(4x)+C₂sin(4x): y мүшесінің таңбасына сәйкес емес типті таңдаған; көрсеткіштік және тербелмелі шешімдер ауысып кеткен.

Қайта орындауға ишара: Сипаттамалық теңдеудегі тұрақты мүшенің таңбасын тексеріңіз.