y″−8y′+16y=0 теңдеуінің сипаттамалық теңдеуіндегі еселі түбірді табыңыз.

Ереже: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуде y=e^(rx) түрін қойып, сипаттамалық квадрат теңдеу аламыз. Екі әртүрлі нақты түбір екі көрсеткіштік шешім береді; еселі түбірде (C₁+C₂x)e^(rx) түрі қолданылады. Таза жорамал түбірлер синус пен косинус шешімдеріне сәйкес келеді. Жалпы шешімдегі екі тәуелсіз тұрақты бастапқы функция мен оның туындысының шарттарынан анықталады.

Шешу жолы: Сипаттамалық теңдеу r²−8r+16=0. Сол жақ (r−4)², сондықтан r=4 — еселі түбір. D=(8)²−4·16=0 теңдігі еселікті көрсетеді, түбірдің өзін нөлге айналдырмайды.

Жиі кездесетін қате: A) 8: сызықтық коэффициенттің модулін түбір деп алған; оны екіге бөлу қажет.

B) -4: (r−4)² жіктелуіндегі таңбаны кері оқыған.

C) 16: тұрақты мүшені түбірдің өзі деп қабылдаған.

D) 0: дискриминант нөл болғанын түбір нөл дегенмен шатастырған.

Қайта орындауға ишара: Квадрат үшмүшені толық квадрат түріне келтіріңіз.