Пирамида және оның элементтері. Пирамида бетінің ауданы

Ереже: Пирамиданың бір жағы — көпбұрышты табан. Қалған жақтары табан жазықтығында жатпайтын бір ортақ төбеде түйісетін үшбұрыштар болады.

Қолдану: Бесбұрыштың әр қабырғасы ортақ төбемен бірге бір бүйір үшбұрыш құрайды. Сондықтан бүйір жақтардың саны бес және олардың бәрінің ортақ төбесі бар. Бір ортақ төбе табан жазықтығынан тыс жатады, ал әр үшбұрыштың табаны бесбұрыштың бір қабырғасы болады. Осылайша бүйір жақтарды табанның өзімен араластырмаймыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Алты шаршы: шаршылар кубтың жақтары болуы мүмкін, бірақ бесбұрышты пирамиданың бүйір жағы үшбұрыш.

B) Бес трапеция: трапециялар төбесі қиылған пирамиданың бүйір жақтары болады, толық пирамиданың емес.

D) Екі бесбұрыш: екі тең бесбұрышты табан призмаға тән; пирамидада бір табан бар.

E) Бес тіктөртбұрыш: тіктөртбұрышты бүйір жақтар тік призмаға тән, пирамиданың ортақ төбесіне келмейді.

Қайта орындауға ишара: Табанның әр қабырғасын пирамиданың төбесімен ойша қос.

Ереже: n-бұрышты пирамиданың табанында n қыр және ортақ төбеден табан төбелеріне баратын n бүйір қыр болады. Барлығы 2n қыр.

Қолдану: Алтыбұрышты табан алты қыр береді. Пирамиданың ортақ төбесінен алты табан төбесіне тағы алты қыр жүргізіледі: 6+6=12. Әр табан төбесіне бір бүйір қыр сәйкес келеді. Бүйір жақтардың ортақ қабырғаларын қайта санамаймыз: барлық алты бүйір қыр мен алты табан қыры бір реттен есептеледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 7: жақ санының n+1 формуласын барлық қырлар санына қолданған.

B) 14: алтының орнына жетібұрышты пирамиданың 2·7 қырын есептеген.

C) 18: призманың 3n формуласын пирамидаға қолданған; пирамидада екінші табан жоқ.

E) 6: бір топты ғана санап, не алты табан қырын, не алты бүйір қырды түсірген.

Қайта орындауға ишара: Табан қырлары мен бүйір қырларды жеке сана.

Ереже: Пирамиданың биіктігі — оның төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр. Биіктіктің табаны табан көпбұрышының ішінде де, сыртында да болуы мүмкін.

Қолдану: S — пирамиданың төбесі, ал SO табан жазықтығына перпендикуляр екені берілген. Сондықтан ол биіктік анықтамасына тікелей сәйкес келеді; басқа теңдіктерді іздеу қажет емес. Перпендикулярдың табаны міндетті түрде қабырға ортасы немесе көпбұрыш центрі болуға тиіс емес. SO анықтамасында төбеден жазықтыққа перпендикулярлық негізгі белгі болып саналады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Табан диагоналі: табан диагоналінің екі ұшы табанда жатады; SO кесіндісінің S ұшы табаннан тыс.

C) Бүйір қыр: бүйір қыр міндетті түрде табан төбесіне барады, ал O кез келген табан жазықтығының нүктесі.

D) Міндетті түрде апофема: апофема бүйір үшбұрыш ішінде табан қабырғасына түседі; SO бүкіл табан жазықтығына перпендикуляр.

E) Табан қабырғасы: табан қабырғасы табан жазықтығында жатады, ал SO одан тыс төбеден түсірілген.

Қайта орындауға ишара: Кесінді қай нүктеден шығып, қай жазықтыққа перпендикуляр жүргізілген?

Ереже: Дұрыс пирамиданың апофемасы — бүйір үшбұрыштың биіктігі. Ол дене биіктігімен және табан центрінен қабырға ортасына дейінгі кесіндімен тікбұрышты үшбұрыш құрайды.

Қолдану: Шаршы центрінен қабырға ортасына дейінгі қашықтық 10÷2=5 см. Сондықтан апофема l=√(12²+5²)=√169=13 см. Бүйір жақ биіктігінің табаны шаршы қабырғасының ортасы болады. Орталықтан осы орта нүктеге дейінгі 5 см катетпен бірге 12 см дене биіктігін қолданамыз; толық қабырға қолданылмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 17 см: 12 см биіктік пен 5 см проекцияны жай қосқан, квадраттар қосындысын қолданбаған.

B) 12 см: апофеманы дененің биіктігімен теңестірген; проекция нөл емес.

D) 2√61 см: табан центрінен қабырға ортасына дейінгі 5 см орнына толық 10 см қабырғаны алған: √(144+100)=2√61.

E) 10 см: табан қабырғасын апофема деп қабылдаған; олардың геометриялық бағыттары әртүрлі.

Қайта орындауға ишара: Шаршының центрінен қабырға ортасына дейін қанша?

Ереже: Дұрыс пирамидада биіктіктің табаны дұрыс көпбұрыштың центрінде орналасады. Бүйір қырды табу үшін центрден табан төбесіне дейінгі қашықтық қолданылады.

Қолдану: Шаршы центрінен төбесіне дейінгі қашықтық диагональдың жартысы: 3√2 см. Бүйір қырдың квадраты 7²+(3√2)²=49+18=67, сондықтан оның ұзындығы √67 см. Бүйір қыр табан төбесіне барады, ал апофема қабырға ортасына түседі. Сондықтан қыр үшін проекция 3√2 см, апофема үшін болатын 3 см емес; екі кесіндіні ажырату қажет.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 13 см: биіктік пен толық табан қабырғасын жай қосқан; кеңістік қыр бұлай есептелмейді.

B) √85 см: центрден төбеге дейінгі жарты диагональ орнына толық 6 см қабырғаны катет деп алған.

C) √58 см: қабырға ортасына баратын 3 см проекцияны алып, бүйір қырдың орнына апофеманы есептеген.

E) 10 см: табан төбесіне дейінгі проекцияны дұрыс анықтамаған; 10²=100, ал қажетті квадрат 67.

Қайта орындауға ишара: Ізделген қыр табанның төбесіне барады; оның проекциясының ұшын анықта.