Қиық конус бетінің ауданы

Ереже: Қиық конустың бүйір бет ауданы табан шеңберлері ұзындықтары қосындысының жартысын жасаушыға көбейтуге тең: Sб=π(R+r)l.

Қолдану: Радиустар қосындысы 11 см. Сондықтан Sб=π·11·5=55π см². Жасаушы радиустар айырмасынан үлкен, демек оң биіктігі бар дене құралады. Бүйір беттегі жасаушы екі табан шеңберін қосады, сондықтан формулаға екі радиустың қосындысы кіреді. Табандардың жеке аудандары бүйір бетке жатпайды; олар тек толық бет сұралғанда қосылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 110π см²: 110π дұрыс бүйір ауданның екі есесі; шеңберлер қосындысындағы жарты коэффициенті ұмытылған.

B) 65π см²: 65π=π(7²+4²) — екі табан аудандарының қосындысы; бүйір бет емес.

D) 35π см²: 35π=π·7·5; кіші радиус бүйір аудан формуласынан түсіп қалған.

E) 15π см²: 15π=π(7−4)·5; радиустар қосындысының орнына айырмасы қолданылған.

Қайта орындауға ишара: Бүйір ауданда екі радиустың қосындысы қолданылатынын еске түсір.

Ереже: Бүйір бет формуласында дене биіктігі емес, көлбеу жасаушы болады. Ол l=√(h²+(R−r)²) арқылы табылады.

Қолдану: Жасаушы √(4²+3²)=5 см. Сондықтан Sб=π·(5+2)·5=35π см². Алдымен тікбұрышты үшбұрыш, кейін бет ауданы формуласы қолданылды. Көлбеу жасаушыны табу үшін радиустар айырмасы 3 см және биіктік 4 см катеттерін аламыз. Бұл катеттердің гипотенузасы 5 см; бүйір беттің жазбасында ұзындық осы жасаушы арқылы беріледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 15π см²: 15π=π(5−2)·5; бүйір ауданда радиустар айырмасы алынған, қосындысы керек.

B) 70π см²: 70π дұрыс бүйір ауданның екі есесі; артық екі көбейткіші бар.

C) 29π см²: 29π=π(5²+2²) — екі табан ауданы; бүйір бет емес.

E) 28π см²: 28π=π(5+2)·4; жасаушының орнына биіктік қолданылған.

Қайта орындауға ишара: 4 см биіктіктен бүйір бет бойындағы ұзындыққа өт.

Ереже: Қиық конустың толық беті бүйір бет пен екі әртүрлі дөңгелек табаннан тұрады. Формула Sт=π(R+r)l+πR²+πr².

Қолдану: Бүйір бет 9·5π=45π см². Табандар аудандары 36π және 9π см². Толық аудан 45π+36π+9π=90π см². Қиық конуста екі табан бар, олардың радиустары әртүрлі болғандықтан аудандары бөлек квадратталады. Бүйірдегі 45π аудан да кездейсоқ табандар қосындысы 45π-ге тең, бірақ олар екі түрлі бет бөліктері.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 54π см²: 45π+9π=54π; үлкен табанның 36π ауданы жоқ.

B) 45π см²: 45π тек бүйір ауданға не екі табан қосындысына тең; толық бет үшін екеуі де қосылады.

C) 135π см²: 45π+2·45π=135π; табандардың қосындысы екі рет саналған.

D) 81π см²: 45π+36π=81π; кіші табанның 9π ауданы түсіп қалған.

Қайта орындауға ишара: Қосындыда бүйір бет пен екі табан да бар ма?

Ереже: Диаметрлерді радиусқа айналдырған соң Sт=π(R+r)l+π(R²+r²) формуласы қолданылады. Екі табанның радиустары жеке квадратталады.

Қолдану: Радиустар 6 және 2 см. Бүйір бет 8·5π=40π см², табандар қосындысы (36+4)π=40π см². Толық бет 80π см². Әр диаметрдің жартысы өз радиусын береді, сондықтан 12 және 4 см-ден 6 және 2 см аламыз. Табандардың аудандары π(6²+2²), ал бүйір бет π(6+2)·5; екі бөлікті қосамыз.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 76π см²: 40π+36π=76π; кіші табанның 4π ауданы жоқ.

C) 160π см²: 160π дұрыс толық бетті екі еселейді; барлық беттер бір рет саналады.

D) 44π см²: 40π+4π=44π; үлкен табанның 36π ауданы жоқ.

E) 40π см²: 40π бұл есепте бүйірге де, екі табан қосындысына да тең; толық бет үшін олардың екеуі қажет.

Қайта орындауға ишара: Әр берілген диаметрді екіге бөл.

Ереже: Бүйір аудан Sб=π(R+r)l болғандықтан белгісіз жасаушы l=Sб÷(π(R+r)) арқылы табылады. Радиустар алдымен қосылады.

Қолдану: l=84π÷(12π)=7 см. Радиустар айырмасы 4 см, ал жасаушы 7 см, сондықтан l>|R−r| шарты орындалып, биіктік нақты болады. 84π см² ауданда π қысқарып, (8+4)l=84 теңдігі қалады. Радиустар айырмасы жасаушының горизонталь проекциясы, бірақ бүйір аудан формуласында олардың қосындысы қолданылады; осы екі рөлді ажыратамыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 12 см: 12 см — радиустар қосындысы; ол жасаушыға тең деп берілмеген.

C) 14 см: 14 см дұрыс жасаушының екі есесі; конусқа тән формулаға қосымша екі көбейткіші енгізілген.

D) 4 см: 4 см — радиустар айырмасы; жасаушы биіктік оң болса одан үлкен болады.

E) 21 см: 84÷(8−4)=21; бүйір формулада қосындының орнына радиустар айырмасы қолданылған.

Қайта орындауға ишара: Жасаушының алдындағы көбейткішті есептеп, ауданға бөлгіш ретінде қолдан.