Шар бетінің ауданы

Ереже: Шар бетінің ауданы S=4πR² формуласымен табылады. Бұл жазық дөңгелектің ауданынан төрт есе үлкен, себебі бүкіл кеңістік денесінің сыртқы беті есептеледі.

Қолдану: R=6 см болғандықтан S=4π·6²=4π·36=144π см². Квадраттау тек радиусқа қолданылады, ал төрт көбейткіші өзгермейді. 6 см — радиус, сондықтан оны формулаға өзгеріссіз қойып квадраттаймыз. 36π см² үлкен дөңгелектің ауданы болса, бүкіл сфера төрт осындай ауданға тең; бұл коэффициент радиустың квадратына көбейтіледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 24π см²: 24π=4π·6; радиус квадратталмай қолданылған.

B) 288π см²: 288π дұрыс сфера ауданын екі рет санайды; сыртқы бет бір рет есептеледі.

C) 36π см²: 36π — ең үлкен дөңгелек қиманың ауданы, сфераның бүкіл беті емес.

D) 72π см²: 72π=2π·6² — жарты сфераның қисық ауданы, толық бет емес.

Қайта орындауға ишара: Радиусты квадраттап, нәтижені 4π санына көбейт.

Ереже: Сфера ауданы S=4πR². Диаметр D=2R болғандықтан дәл осы формуланы S=πD² түрінде де жазуға болады. Берілген өлшемнің радиус не диаметр екенін ажырату қажет.

Қолдану: Диаметр 10 см, сондықтан радиус 5 см. S=4π·25=100π см². Немесе диаметр формуласымен π·10² бірден сол нәтиже береді. Диаметрді радиус формуласында қолдансақ алдымен 10÷2=5 см деп аламыз. Балама πD² формуласында бұл бөлу төрт коэффициентімен алдын ала қысқарған; екі тәсілді араластырып екіге қайта бөлуге болмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 40π см²: 40π=4π·10; диаметр радиус ретінде қолданылып, квадраттау да ұмытылған.

C) 400π см²: 400π=4π·10²; 10 см диаметр радиус деп алынған.

D) 25π см²: 25π — радиусы 5 см дөңгелек ауданы; сфера үшін төрт коэффициенті жоқ.

E) 200π см²: 200π дұрыс сфера ауданын екі рет санайды; бір сыртқы бет сұралған.

Қайта орындауға ишара: Диаметр берілсе, оны екіге бөлу керек пе, әлде πD² формуласын қолданасың ба?

Ереже: Шар радиусын табу үшін S=4πR² теңдеуін R-ге қатысты шешеді. Алдымен ауданды 4π-ге бөледі, кейін оң квадрат түбірін алады, өйткені радиус теріс болмайды.

Қолдану: R²=196π/(4π)=49. Осыдан R=7 см. Тексеру: 4π·7²=196π см², яғни шарттағы бет ауданы қайта алынды. Радиус квадратын тапқан соң квадрат түбір міндетті түрде алынады. 49 см² радиус квадратының өлшемі аудан болғандықтан ол радиусқа жауап бола алмайды; 7 см оң түбірі ғана ұзындық береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 3,5 см: 3,5 см дұрыс радиусты диаметр деп қайта екіге бөледі.

C) 7√π см: 7√π см π-ді қысқартпай, тек төртке бөлуден шығады; π екі жақта да бар және қысқарады.

D) 14 см: 14 см 196 санынан тікелей түбір алғанда шығады; төрт коэффициенті ескерілмеген.

E) 49 см: 49 — радиустың квадраты; ұзындық табу үшін оның квадрат түбірі алынуы тиіс.

Қайта орындауға ишара: 196 санын алдымен төртке бөліп, содан кейін түбір ал.

Ереже: Сфера ауданы диаметр арқылы S=πD² түрінде жазылады. Радиус арқылы есептегенде соңында оны екіге көбейту қажет, себебі сұралған шама диаметр болады.

Қолдану: D²=144π/π=144, сондықтан D=12 см. Радиуспен тексерсек R=6 см және S=4π·36=144π см². Сфераның диаметрі оң болғандықтан D²=144 теңдігінен оң 12 см түбірін аламыз. Егер радиус формуласын таңдасақ алдымен R²=36, R=6 шығады; соңында диаметрге өту үшін екі еселейміз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 6 см: 6 см — сфера радиусы; диаметр соның екі есесі.

B) 3 см: 3 см радиусты тағы екіге бөлуден шығады; сұралған диаметр одан үлкен болуы керек.

D) 36 см: 36 — радиус квадраты; ол диаметр ұзындығы емес.

E) 24 см: 24 см дұрыс диаметрді қайта екі еселейді; πD² формуласында диаметр тікелей табылады.

Қайта орындауға ишара: Сұрақтың соңында радиус па, диаметр ме сұралғанын қайта оқы.

Ереже: Ұқсас фигуралардың аудандары сызықтық өлшемдер қатынасының квадраты бойынша өзгереді. Шар үшін бұл S=4πR² формуласында радиустың екінші дәрежеде тұруынан көрінеді.

Қолдану: Жаңа радиус 3R болғанда жаңа аудан 4π(3R)²=9·4πR² болады. Сондықтан жаңа және бастапқы аудандар қатынасы 9-ға тең. Жаңа және ескі аудандарды бөлгенде ортақ 4π және R² қысқарады. Тек (3R)²÷R²=9 қалады; тұрақты төрт коэффициенті аудан өзгерісіне қосымша төрт есе өсім бермейді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 3 есе: 3 есе ұзындық өзгерісі; аудан үшін оны квадраттау керек.

B) 6 есе: 6 есе үш коэффициентін екіге көбейтеді; квадрат 3·3 болады.

C) 27 есе: 27 есе көлем өзгерісіне тән кубтық коэффициент.

E) 12 есе: 12 есе үшке тұрақты төртті көбейтеді; қатынаста 4π екі жақта қысқарады.

Қайта орындауға ишара: Үш еселеу кезінде формуладағы радиус квадраты қалай өзгереді?